[論文レビュー] A topos perspective on the Kochen-Specker theorem: II. Conceptual Aspects, and Classical Analogues:

C. J. Isham, Jeremy Butterfield|ArXiv.org|Aug 31, 1998

Quantum Mechanics and Applications参考文献 3被引用数 21

ひとこと要約

本稿は、量子力学および古典力学における価値割り当てをトポス論的枠組みで提示し、FUNC（関数的）原理を一般化するシーブ値割り当てを用いる。このような価値割り当ては、部分的真偽条件とプレシャーフ構造から自然に生じ、粗粒度化に関して閉じたシーブとしての真偽値を定義することにより、Kochen-Speckerの文脈性問題を解決する。主な結果として、量子的および古典的設定の両方において一貫性と一般性を示す。

ABSTRACT

In a previous paper, we have proposed assigning as the value of a physical quantity in quantum theory, a certain kind of set (a sieve) of quantities that are functions of the given quantity. The motivation was in part physical---such a valuation illuminates the Kochen-Specker theorem; and in part mathematical---the valuation arises naturally in the topos theory of presheaves. This paper discusses the conceptual aspects of this proposal. We also undertake two other tasks. First, we explain how the proposed valuations could arise much more generally than just in quantum physics; in particular, they arise as naturally in classical physics. Second, we give another motivation for such valuations (that applies equally to classical and quantum physics). This arises from applying to propositions about the values of physical quantities some general axioms governing partial truth for any kind of proposition.

研究の動機と目的

• 量子理論における関数的計算（FUNC）原理を、単一の値関数を超えて一般化すること。そのためにシーブ値割り当てを用いる。
• このような割り当てが、量子力学に限らず、マクロ状態に基づく粗粒度化によって古典力学においても自然に生じることを示すこと。
• 任意の圏上の命題のプレシャーフにおける一般原理としての部分的真偽の原則から、シーブ値割り当てが自然に生じることを確立すること。
• トポス論的構造を用いて、量子力学における文脈性の概念的および数学的基盤を統一すること。

提案手法

• 物理的量 A に対して、A におけるシーブ（射 f:B→A の集合で、さらに射との合成に関して閉じたもの）を割り当て、粗粒度化の可能性を表現する。
• 命題 'A∈Δ' の真偽値を、A におけるシーブとして定義し、そのシーブが命題が真となるすべての文脈を捉える。
• 物理的量の圏（射を関数／粗粒度化として持つ）におけるプレシャーフ構造を用いて、真偽値が文脈間をどのように伝播するかをモデル化する。
• 一般化されたFUNCを適用：f(A) のシーブ値は、射 f 沿って A のシーブ値を引き戻したものとして定義され、文脈間の一貫性が保証される。
• 真偽値の論理的代数を用いて部分的真偽をモデル化し、命題の帰結のうちより多くの部分が完全に真である場合、命題がより真であるとみなす。
• 圏論における部分対象および一般化された含意の概念を用いて、プレシャーフ設定における帰結関係を形式化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Kochen-Speckerの文脈性の障害を避けるために、量子理論におけるFUNC原理をどのように一般化できるか？
• RQ2 シーブ値割り当てが、量子的文脈性が存在しないにもかかわらず、古典力学においてどのように自然に生じるのか、その意味は何か？
• RQ3 命題における部分的真偽の概念を、シーブ値割り当てへ自然に導く形式的定式化は可能か？
• RQ4 粗粒度化射を介した文脈の圏が、一貫性のある割り当て構造を定義する上で果たす役割は何か？
• RQ5 プレシャーフの構造的性質（例えば、グローバルな元、部分対象）は、グローバルな割り当ての存在または非存在とどのように関係するか？

主な発見

• シーブ値割り当ては、Kochen-Speckerの定理による障害を回避する形で、量子理論におけるFUNC原理の一貫した一般化を提供する。これは、グローバルな実数値関数から集合値割り当てへの置き換えによって実現される。
• 古典力学においては、このような割り当てがマクロ状態の情報から自然に生じる。特に、ある物理的量のすべての関数が粗粒度化に関してシーブを形成する。
• 提案された割り当てスキームは、物理的および論理的制約（単調性、空命題、シーブの引き戻しによる一般化されたFUNC）を満たす。
• この枠組みは物理学を越えて一般化可能である。任意の小さい圏上の命題のプレシャーフは、部分的真偽の原則を満たす自然なシーブ値割り当てを備える。
• 命題の真偽値は、その弱化が完全に真となるすべての文脈の集合によって完全に決定され、自然な部分的真偽の概念を形式化する。
• Kochen-Speckerの定理の主要結果であるスペクトラムプレシャーフにグローバルな元が存在しないという事実は、グローバルに定義されたシーブ値割り当てに置き換えることで調和する。