[論文レビュー] A toroidal resolution for the bad reduction of some Shimura varieties

Alain Genestier|ArXiv.org|Dec 7, 1999

Advanced Algebra and Geometry被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、ユニタリ型およびシンプレクティック型の志村多様体の素数 p における悪い還元に対して、Lafforgue の PGL_r^{N+1}/PGL_r のコンパクト化と Faltings の行列特異点の還元原理を用いて、正規化された対数滑らかでトロイダルな解消を構成する。主な貢献は、対数滑らか性を保証する体系的な解消法であり、Z_p[p^{1/ν}] 上での非正規化された半安定解消の構成を可能にする。

ABSTRACT

Borrowing a reduction principle to a recent preprint of G. Faltings (toroidal resolution of some matrix singularities, 1999), we use Lafforgue's compactification of PGL_r^{N+1}/PGL_r to construct a canonical log-smooth toroidal resolution for the bad reduction in a prime p of Shimura varieties of unitary and symplectic type with parahoric level structures at p. Using this result, non-canonical semi-stable resolutions over Z_p[p^{1/ν}] can be derived.

研究の動機と目的

• ユニタリ型およびシンプレクティック型志村多様体の素数 p におけるパラハオリレベル構造付きの悪い還元を解消すること。
• Lafforgueのコンパクト化とFaltingsの還元原理を用いて、このような悪い還元に対する正規化された対数滑らかでトロイダルな解消を構成すること。
• Faltingsの最近の行列特異点のトロイダル解消に関する研究を、志村多様体の算術的設定に適応すること。
• 正規化された解消から、Z_p[p^{1/ν}] 上の非正規化された半安定解消を導出すること。
• これらの多様体の p-進均質化に生じる特異点を理解するための体系的枠組みを提供すること。

提案手法

• PGL_r^{N+1}/PGL_r の Lafforgue のコンパクト化を活用して、志村多様体のグローバルな幾何的モデルを構築する。
• G. Faltings のプレプリントにおける行列特異点の還元原理を算術的設定に適用する。
• 対数滑らか性およびトロイダル埋め込みの理論を用いて、形式的スキームのレベルで解消が正規化され、良好に振る舞うことを保証する。
• 元の志村多様体が p でどのように退化するかを分析することで、解消に対数滑らか構造を構築する。
• Z_p[p^{1/ν}] へのベースチェンジにより、正規化された解消から非正規化された半安定解消を導出し、より柔軟な設定に拡張する。
• 代数的スタックおよびパラハオリレベル構造の形式的枠組みを用いて、解消過程における群論的データを制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ユニタリ型およびシンプレクティック型志村多様体の素数 p における悪い還元に対して、正規化された対数滑らかでトロイダルな解消を構成できるか？
• RQ2 Faltings の行列特異点の解消法を算術的志村多様体の文脈にどのように適応できるか？
• RQ3 これらの志村多様体の p における特異性を持つファイバーの構造は何か？そして、それらを体系的に解消できるか？
• RQ4 正規化された解消を Z_p[p^{1/ν}] 上の非正規化された半安定モデルへどの程度まで拡張できるか？
• RQ5 Lafforgue のコンパクト化は、悪い還元のグローバルな解消を可能にする上で果たす役割は何か？

主な発見

• ユニタリ型およびシンプレクティック型志村多様体のパラハオリレベル構造付きの素数 p における悪い還元に対して、正規化された対数滑らかでトロイダルな解消が存在する。
• 解消は Lafforgue の PGL_r^{N+1}/PGL_r のコンパクト化と Faltings の行列特異点の還元原理を用いて構成される。
• 解消は対数滑らかであるため、p-進設定において良好な幾何的および算術的性質を保証する。
• Z_p[p^{1/ν}] 上の非正規化された半安定解消は、正規化された解消から導出され、その適用範囲が拡張される。
• この方法は、算術的志村多様体の最小モデルプログラムにおける特異点の解消のための体系的枠組みを提供する。
• この構成はユニタリ型およびシンプレクティック型両方の志村多様体に適用可能であり、悪い素数における解消理論を統一する。