[論文レビュー] A torsion Jacquet--Langlands correspondence

Frank Calegari, Akshay Venkatesh|arXiv (Cornell University)|Dec 16, 2012

Advanced Algebra and Geometry参考文献 69被引用数 27

ひとこと要約

本稿は、解析的 torsion とレギュレーターを用いて、GL(2) の内包的形に関連する算術群の torsion 同調群を自動形式と結びつけることで、torsion Jacquet–Langlands 対応を確立する。torsion 群と新形式の間の数値的対応を証明し、一致する体積と合同同調群が、コhomological 設定における同型 torsion 商を示すことを示している。

ABSTRACT

We study torsion in the homology of arithmetic groups and give evidence that it plays a role in the Langlands program. We prove, among other results, a numerical form of a Jacquet--Langlands correspondence in the torsion setting.

研究の動機と目的

• 算術群の torsion 同調群の文脈において、古典的 Jacquet–Langlands 対応を拡張すること。
• ガロア表現や L 関数と関連して、Langlands プログラムにおける torsion の役割を調査すること。
• 解析的 torsion とレギュレーターを用いて、torsion 同調群と新形式の間の数値的対応を確立すること。
• GL(2) の内包的形の文脈において、合同同調群、本質的同調群、および torsion 商の構造との関係を調査すること。
• レベル上昇およびレベル低下操作におけるレギュレーターと torsion 群の振る舞いを検討し、それらが mod p 自動形式に与える影響を明らかにすること。

提案手法

• ハイパボリック 3-多様体における Reidemeister torsion と解析的 torsion の関係を示すために、Cheeger–Müller 定理を用いる。
• スペクトル系列を用いて、算術的商のコhomology を新形式および torsion 群と関連付ける。
• Atkin–Lehner 稲妻作用素と退化写像を用いて、同調群におけるレベル上昇およびレベル低下を分析する。
• Eisenstein 級数とモジュラー記号を用いて、リンクングペアリングとレギュレーターを計算し、解析的および算術的不変量を比較する。
• S-整数群と Borel–Moore 同調群を用いて、非コンパクトな設定における尖点的および合同同調群を研究する。
• 固有値および散乱行列の振る舞いを分析し、スペクトルデータを torsion 群および L 値に関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 torsion の設定において、torsion 同調群のクラスと新形式を一致させる数値的 Jacquet–Langlands 対応を確立できるか？
• RQ2 torsion 群のレギュレーターは、有理数倍の差を除いて L 値と一致するか？ そして、これを整数的に行えるか？
• RQ3 mod p 周期と Selmer 群を介して、torsion 群にガロア理論的解釈は可能か？
• RQ4 レベル上昇の後、torsion 群は特徴的ゼロの形式に引き上げられるか？ もしできない場合、その障害は何か？
• RQ5 内包的形に関連する算術群のプロファイント完成形どうしがどのように関係するか？ そして、Jacquet–Langlands 対応の背後にあるより深い構造は何か？

主な発見

• 本稿は、数値的 torsion Jacquet–Langlands 対応を証明した：GL(2) の内包的形に対して、一致する体積と合同同調群が、同型 torsion 商を示す。
• torsion 群のレギュレーターが、有理数スカラー倍の差を除いて L 値の積と一致することを確立し、古典的周期予想を torsion の文脈に拡張した。
• 実験の結果、torsion 群は多くの場合、レベル上昇の後に特徴的ゼロの形式に引き上げられるが、特に大きな素数では大幅なレベル上昇が必要な場合がある。
• スペクトル系列の分析により、新形式はスペクトル系列の H1 行における非退化なサイクルに対応し、境界同調群および本質的同調群からの寄与が確認された。
• 分解型の場合、Reidemeister torsion と解析的 torsion は有理数倍の差を除いて一致し、H2-レギュレーターは Eisenstein 積分を用いて明示的に計算された。
• 低次のコhomology 群がしばしば Eisenstein 的であることが示唆されており、このような群が Hecke 演算子によってその次数を通して作用を受けるという予想を支持する証拠を提供した。