[論文レビュー] A Tour on Ecumenical Systems (Invited Talk)

Elaine Pimentel, Luiz Carlos Pereira|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2023

Philosophy and Theoretical Science被引用数 2

ひとこと要約

本稿は、矛盾定数 ⊥ を原子命題として扱い、すべての基礎を一貫性を持つように制約することで、古典的および直観的証明論的意味論を一貫的に統合する、画期的な基本拡張意味論（Be-S）を導入する。自然演繹系の健全性と完全性を、正規化技術を用いて古典的および直観的証明を区別することで確立し、古典的推論が唯一完全性証明における古典的命題の部分で必要であることを示しており、これにより古典的および直観的証明の概念的・技術的基盤が明確に分離される。

ABSTRACT

Debates concerning philosophical grounds for the validity of classical and intuitionistic logics often have the very nature of logical proofs as one of the main points of controversy. The intuitionist advocates for a strict notion of constructive proof, while the classical logician advocates for a notion which allows non-construtive proofs through reductio ad absurdum. A great deal of controversy still subsists to this day on the matter, as there is no agreement between disputants on the precise standing of non-constructive methods. Two very distinct approaches to logic are currently providing interesting contributions to this debate. The first, oftentimes called logical ecumenism, aims to provide a unified framework in which two "rival" logics may peacefully coexist, thus providing some sort of neutral ground for the contestants. The second, proof-theoretic semantics, aims not only to elucidate the meaning of a logical proof, but also to provide means for its use as a basic concept of semantic analysis. Logical ecumenism thus provides a medium in which meaningful interactions may occur between classical and intuitionistic logic, whilst proof-theoretic semantics provides a way of clarifying what is at stake when one accepts or denies reductio ad absurdum as a meaningful proof method. In this paper we show how to coherently combine both approaches by providing not only a medium in which classical and intuitionistic logics may coexist, but also one in which classical and intuitionistic notions of proof may coexist.

研究の動機と目的

• 古典的および直観的証明論的意味論を一貫性のあるエクユメイカルフレームワーク内で統合する、新たな基本拡張意味論（Be-S）の開発。
• 矛盾定数 ⊥ に対して、それを原子命題として扱い、すべての基礎が一貫性を持つことを要求することで、概念的に適切かつ技術的に整合性のある意味論の提供。
• 古典的推論が唯一古典的命題の完全性証明において必要であることを示し、古典的証明と直観的証明の概念的基盤の差異を正式に分離すること。
• 強力な Be-S フレームワークを導入することで、直観的論理を超えた証明論的意味論の拡張を実現し、エクユメイカル自然演繹を支援すること。
• エクユメイカルシステムにおける局所的およびグローバル有効性の観点から、直観的論理と古典論理の意味的および証明論的差異を分析すること。

提案手法

• ⊥ を原子命題として扱い、すべての証明の基礎が一貫性を持つように制約することで、古典的および直観的証明の正式な共存を可能にする。
• 弱いバージョン（二重否定や帰納的可証性の差異の理解のため）と強いバージョン（完全なエクユメイカル推論のため）の2種類の基本拡張意味論を定義する。
• 古典的および直観的接続詞が共存する自然演繹系を構築し、それぞれに異なる推論規則を設け、強い Be-S フレームワークに基づいて健全性と完全性を証明する。
• 正規化技術を用いてシミュレーション基礎の整合性を証明し、古典的体系における導出が正当な根拠なしに ⊥ に至らないように保証する。
• 原子的規則の結論をそれらの命題的同等物に置き換える変換を用いて、古典的導出から直観的導出への変換を実施し、体系間での導出可能性が保存されることを保証する。
• Prawitz の推論主義的枠組みを活用し、直観的論理内での古典的接続詞の表明条件を定義することで、拒否された演算子の再解釈を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的および直観的証明論的意味論を、単一のフレームワーク内で一貫的に統合する方法は何か？
• RQ2 統一的証明論的意味論における矛盾定数 ⊥ の役割は何か。形式的にどのように取り扱うべきか？
• RQ3 基本拡張意味論は、直観的および古典的推論を、それらの証明論的意味の違いが崩れないようにサポートできるか？
• RQ4 完全性証明において、どの程度古典的推論が必要であり、古典的証明と直観的証明の差異を正式に分離できるか？
• RQ5 Be-S における局所的およびグローバル有効性は、エクユメイカルシステムの意味的分析にどのように寄与し、どのような新たな洞察を提供するか？

主な発見

• 本稿は、強い基本拡張意味論を用いて、古典的および直観的証明を区別することで、健全かつ完全なエクユメイカル自然演繹系を確立した。
• ⊥ を原子命題として扱い、すべての基礎が一貫性を持つように制約することで、古典的および直観的文脈における矛盾の意味論に技術的に堅牢かつ概念的に適切な意味論を提供した。
• 古典的命題の完全性証明は古典的推論に依存するが、証明の他のすべての段階は構成的であるため、古典的証明と直観的証明の差異が形式的かつ概念的に正当化されていることが示された。
• 正規化技術を用いて、シミュレーション基礎の整合性が成功裏に証明され、古典的規則の追加によって整合性のない導出が生じないことが保証された。
• 原子的規則の結論をそれらの命題的同等物に置き換える古典的から直観的導出への変換は、導出可能性を保存し、エクユメイカル体系の健全性を支持する。
• 本フレームワークにより、従来のモデル理論的分析では見えにくかった、特に局所的およびグローバル有効性の相互作用に起因する性質を明らかにする、新たな意味的含意の見方を可能にした。