[論文レビュー] A tour through $\delta$-invariants: From Nash's embedding theorem to ideal immersions, best ways of living and beyond

Bang‐Yen Chen|arXiv (Cornell University)|Jul 3, 2013

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 10被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、部分多様体論における内在的曲率と外在的幾何の間のギャップを埋めるために、δ不変量という新しいリーマン不変量のクラスを導入する。これらの不変量を含む最適な不等式を確立することで、ユークリッド空間および複素空間形式への最小およびラグランジュ的等長埋め込みに対する新たな障害を導き出し、第二基本形式の等号条件を明示的に特徴づけることにより、非最小および最小の場合の両方で鋭い結果を得た。

ABSTRACT

First I will explain my motivation to introduce the $\delta$-invariants for Riemannian manifolds. I will also recall the notions of ideal immersions and best ways of living. Then I will present a few of the many applications of $\delta$-invariants to several areas in mathematics. Finally, I will present two optimal inequalities involving $\delta$-invariants for Lagrangian submanifolds obtained very recently in joint papers with F. Dillen, J. Van der Veken and L. Vrancken.

研究の動機と目的

• ナッシュの埋め込み定理の限界を克服するために、外在的幾何を制御する新しい内在的不変量を導入すること。
• 部分多様体論における内在的不変量（例えばスカラー曲率）と外在的不変量（例えば平均曲率）の間の最適な関係の欠如に対処すること。
• ユークリッド空間および複素空間形式への最小およびラグランジュ的等長埋め込みのためのリーマン的障害を確立すること。
• 複素空間形式内のラグランジュ部分多様体におけるδ不変量の鋭い不等式を導出し、等号成立の状況を特徴づけること。

提案手法

• 接空間の正規直交分解から導かれる断面曲率の二次結合としてδ不変量を定義する。
• ガウス方程式を用いてリーマン曲率テンソルと第二基本形式を関連づけ、曲率-幾何推定を可能にする。
• 接空間の正規直交分解の手法を応用し、部分多様体の幾何に敏感な新しい内在的不変量を構成する。
• 正規直交基底における第二基本形式の解析を通じて、複素空間形式内のラグランジュ部分多様体におけるδ不変量の最適不等式を導出する。
• 第二基本形式の成分に特定の代数的制約を課すことにより、不等式における等号成立状況を特徴づける。
• 等号を達成する明示的な非最小および最小ラグランジュ部分多様体の構成により、不等式の鋭さを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ユークリッド空間への埋め込みにおける曲率と幾何的緊張を捉える新しい内在的不変量を定義できるか？
• RQ2 ラグランジュ部分多様体において、内在的δ不変量と外在的不変量（例えば平均曲率）との間の最適な関係は何か？
• RQ3 ある多様体がユークリッド空間または複素空間形式への最小またはラグランジュ的等長埋め込みをもつためのリーマン的障害は何か？
• RQ4 δ不変量の不等式が等号に達するのはどのような条件下か？ これは第二基本形式にどのような意味をもたらすか？
• RQ5 不等式をさらに改善できるか、それともすでに鋭いか？

主な発見

• 複素空間形式内のラグランジュ部分多様体に対して、不等式 δ(n₁,…,nₖ) ≤ n²[...]H² + ½(n(n−1)−∑nᵢ(nᵢ−1))c が成り立ち、係数は分解 (n₁,…,nₖ) に依存する明示的な表現を持つ。
• ∑nᵢ < n の場合、不等式 (6.1) の等号が成立するのは、第二基本形式が特定のブロック対角構造をもち、対角成分および非対角成分に制約が課されたときである。
• ∑nᵢ = n の場合、改善された不等式 (6.3) は異なる係数構造を持ち、等号成立は最小ブロックサイズおよび第二基本形式のトレース制約を含む条件のもとで成立する。
• 不等式 (6.1) の等号成立状況は、等号点において最小性が成立することを示し、δ(2)-理想ラグランジュ部分多様体に関する先行結果を一般化する。
• 明示的な構成により、不等式 (6.1) および (6.3) が両方とも鋭いことが示された。非最小および最小ラグランジュ部分多様体が等号を恒等的に達成する例が存在する。
• 障害結果（定理 5.15）において、有限基本群または第一ベッチ数の消滅の仮定は必要不可欠であり、ホイットニーの球面による構成により、その境界が鋭いことが示された。