[論文レビュー] A toy model for time evolving QFT on a lattice with controllable chaos

David Berenstein|arXiv (Cornell University)|Mar 6, 2018

Quantum many-body systems参考文献 18被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、テンソル積の量子トーラ上での一般化量子キャット写像に基づく離散時間量子格子モデルを提案し、リャプノフ指数とエンタングルメントエントロピーの時間発展を解析的に計算可能にする。エンタングルメント生成速度が log(N) に従うことが示され、N=2 の場合、古典的メッセージのブロードキャストと一般化GHZ状態の生成を実現する量子セルオートマトンとして機能する。初期状態の双対基底における準備により、エンタングルメントを制御可能である。

ABSTRACT

A class of models with a dynamics of generalized quantum cat maps on a product of quantum tori is described. These tori are defined by an algebra of clock-shift matrices of dimension $N$. The dynamics is such that the Lyapunov exponents can be computed analytically at large $N$. Some of these systems can be thought of as a toy model for quantum fields on a lattice under a time evolution with nearest neighbor interactions, resembling a quantum version of a cellular automaton. The dynamics of entangling is studied for initial product states. Some of these entangle at rates determined by Lyapunov exponents of the system at large $N$ when the initial states are gaussian. For other classes of states, entanglement between two regions can be computed analytically: it is found that entanglement rates are controlled by $\log(N)$. Some of these setups can be realized on quantum computers with CNOT quantum gates. This is analyzed in detail where we find that the dynamics has a self-similar behavior and various peculiar behaviors. This dynamics can be interpreted in a particular basis as a machine that broadcasts classical messages in one direction and that produces over time a generalized GHZ state with the receiving region once we consider superpositions of such messages. With the appropriate choice of quantum vacuum on the receiving end of the system one can stop the message from leaving the broadcast area.

研究の動機と目的

• カオス性とエンタングルメントダイナミクスが解析的に計算可能な、格子上の制御可能な量子場理論のおもちゃモデルの構築を目的とする。
• 離散時間発展を示す量子系におけるリャプノフ指数とエンタングルメント生成速度の関係を調査すること。
• 量子格子系において、リャプノフ指数に依存しない形で、エンタングルメントエントロピーの時間発展が log(N) で上界に抑えられるかどうかを検証すること。
• 特定の初期状態の選択により、エンタングルメントを局所化または抑制できるかどうかを検証し、古典的ダイナミクスでは観察されない純粋に量子効果を示すこと。
• CNOTゲートを用いた量子計算可能モデルとして、自己相似的ダイナミクスと一般化GHZ状態の形成を実現すること。

提案手法

• モデルは、N次元の量子トーラのテンソル積上での一般化量子キャット写像に基づく離散時間発展を用い、時計シフト行列が代数的構造を形成する。
• 古典的モノドロミー行列から導かれる1つの行列の対角化により、リャプノフ指数を解析的に計算する。
• 初期状態が積状態である場合の密度行列を用いて、空間的領域間のエンタングルメントエントロピーを計算し、特にガウス的および半古典的初期状態に注目する。
• 離散フーリエ変換により双対基底に写像することで、自己相似的フラクタル構造（N=2の場合にシエルピンスキー三角形が現れる）が明らかになる。
• N=2の場合、CNOTゲートを用いて現在の量子コンピュータで実装可能であり、エンタングルメント制御の実験的ベンチマークが可能である。
• 系は、可逆な古典的セルオートマトンに類似した基底で解析され、古典的メッセージが格子全体に一方向にブロードキャストされる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 制御可能なカオス性を有する量子格子場理論モデルにおいて、リャプノフ指数とエンタングルメントエントロピーの時間発展を解析的に計算可能か？
• RQ2 空間的領域間のエンタングルメント生成速度は、ヒルバート空間次元Nに対してどのようにスケーリングされるか。リャプノフ指数ではなく、log(N) に従うか？
• RQ3 特定の初期状態の選択により、エンタングルメントを動的に抑制または局所化できるか。特に、古典的ダイナミクスではそのような制御が不可能な量子領域においては？
• RQ4 量子効果によって半古典的近似がどの程度破綻するか。そのスケールはどの時間領域で顕在化するか？
• RQ5 このようなモデルは、CNOTなどの標準量子ゲートを用いて近い将来の量子コンピュータで実装可能か？

主な発見

• 大Nにおいて、古典的モノドロミー行列から導かれる1つの行列の対角化により、リャプノフ指数を解析的に計算可能である。
• 広範な初期状態のクラスにおいて、空間的領域間のエンタングルメントエントロピー生成は、リャプノフ指数に依存せず、log(N) で上界に抑えられる。
• 半古典的初期状態（不確定性を最小化）においては、エンタングルメント増加率が最大のリャプノフ指数の和に従い、半古典的期待と整合的である。
• モデルは自己相似的ダイナミクスを示し、N=2の場合にはエンタングルメント時間発展にシエルピンスキー三角形のようなフラクタル構造が現れる。
• 受信領域をハダマード状態の積状態に初期化すると、エンタングルメントは完全に停止する。これは古典的ダイナミクスには存在しない純粋に量子的効果である。
• N=2モデルは、CNOTゲートを用いて現在の量子コンピュータで実装可能であり、制御可能なエンタングルメントとメッセージブロードキャストの実験的研究が可能である。