[論文レビュー] A Trace Formula for Certain Hecke Operators and Gaussian Hypergeometric Functions

Catherine Lennon|arXiv (Cornell University)|Mar 4, 2010

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 16被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、重さ $k$ およびレベル 3 や 9 の尖点形式におけるヘッケ作用素 $T_k(p)$ の明示的なトレース公式を、有限体上でのガウス超幾何関数の特別値を用いて導出する。楕円曲線に 3- torsion が存在する場合、フロベニウスのトレースが正規化された超幾何和に等しくなることを確立し、これにより $\eta(3z)^8$ のフーリエ係数に対する再帰的公式を導出。その結果、3 次元多様体の有理点の個数とモジュラー形式の係数を結びつける。

ABSTRACT

We present here simple trace formulas for Hecke operators $T_k(p)$ for all $p>3$ on $S_k(Γ_0(3))$ and $S_k(Γ_0(9))$, the spaces of cusp forms of weight $k$ and levels 3 and 9. These formulas can be expressed in terms of special values of Gaussian hypergeometric series and lend themselves to simple recursive expressions in terms of traces of Hecke operators on spaces of lower weight. Along the way, we show how to express the traces of Frobenius of a family of elliptic curves with 3-torsion as special values of a Gaussian hypergeometric series over $\mathbb{F}_q$, when $q\equiv 1 \pmod{3}$. We also use these formulas to provide a simple expression for the Fourier coefficients of $η(3z)^8$, the unique normalized cusp form of weight 4 and level 9, and then show that the number of points on a certain threefold is expressible in terms of these coefficients.

研究の動機と目的

• $p > 3$ に対して、$S_k(\Gamma_0(3))$ および $S_k(\Gamma_0(9))$ におけるヘッケ作用素 $T_k(p)$ の簡単で再帰的なトレース公式を導出すること。
• $q \equiv 1 \pmod{3}$ のとき、3- torsion を持つ楕円曲線のフロベニウスのトレースを $\mathbb{F}_q$ 上のガウス超幾何級数の形で表現すること。
• $\eta(3z)^8$、重さ 4 およびレベル 9 の唯一の正規化尖点形式のフーリエ係数に対して、ヤコビ和を用いた閉形式の表現を与えること。
• これらのトレース公式を通じて、ある3次元多様体の $\mathbb{F}_p$-有理点の個数とモジュラー形式のフーリエ係数を結びつけること。

提案手法

• 有限体上でのガウス超幾何級数を定義するため、正規化ヤコビ和 $\left({A \atop B}\right)$ の使用。
• トレース計算を容易にするために、3- torsion を持つ楕円曲線を $y^2 + a_1xy + a_3y = x^3$ の形にパラメトライズすること。
• ガウス和の恒等式および特徴和の操作を用いて、フロベニウスのトレースを超幾何級数に結びつけること。
• 低重量ヘッケトレースを用いて $\operatorname{tr}_k(\Gamma_0(3), p)$ および $\operatorname{tr}_k(\Gamma_0(9), p)$ を表すことで、再帰的トレース公式を導出すること。
• 恒等式 $G_{m + \frac{q-1}{3}} G_{-m} = \left(T^{m + \frac{q-1}{3}} \atop T^m\right) G_{\frac{q-1}{3}} q T^m(-1)$ を用いて、特徴和展開を簡略化すること。
• 3 次元多様体のモジュラリティを、$\eta(3z)^8$ のフーリエ係数を超幾何トレースから導出することで活用すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ヘッケ作用素 $T_k(p)$ のトレースは、$S_k(\Gamma_0(3))$ および $S_k(\Gamma_0(9))$ において、有限体 $\mathbb{F}_q$ 上のガウス超幾何関数を用いて表現可能か？
• RQ2 $q \equiv 1 \pmod{3}$ のとき、3- torsion を持つ楕円曲線のフロベニウスのトレースは、ガウス超幾何級数の特別値に等しいか？
• RQ3 $\eta(3z)^8$ のフーリエ係数は、ヤコビ和および超幾何関数を用いて表現可能か？
• RQ4 ある3次元多様体の $\mathbb{F}_p$-有理点の個数は、レベル 9 および重さ 4 のモジュラー形式のフーリエ係数に依存するか？
• RQ5 $j$-不変量が 0 である同種な楕円曲線のフロベニウストレースの和と超幾何関数との間にはどのような関係があるか？

主な発見

• $q \equiv 1 \pmod{3}$ のとき、3- torsion を持つ楕円曲線 $E_{a_1,a_3}$ の modulo $p$ でのフロベニウス自己準同型のトレースは、$t_q(E_{a_1,a_3}) = -q \cdot {}_2F_1\left(\left.\begin{array}{cc} \rho & \rho^2 \\ & \epsilon \end{array}\right| 27a_1^{-3}a_3 \right)_q$ で与えられる。ここで $\rho$ は位数 3 の特徴である。
• $\eta(3z)^8$ のフーリエ係数、重さ 4 およびレベル 9 の唯一の正規化尖点形式は、ヤコビ和を用いて表現可能であり、ヘッケトレース恒等式から導かれる再帰的公式を満たす。
• $k \equiv 2 \pmod{3}$ のとき、3 つの同種な曲線 $E_{0,\alpha}$、$E_{0,\alpha^2}$、$E_{0,\alpha^3}$ のフロベニウストレースの平均は $-p^{k-2} \cdot {}_2F_1\left(\left.\begin{array}{cc} \rho & \rho^2 \\ & \epsilon \end{array}\right| 9 \cdot 8^{-1} \right)_{p^{k-2}}$ に等しく、そうでない場合は和が 0 になる。
• ある3次元多様体の $\mathbb{F}_p$-有理点の個数は、$\eta(3z)^8$ のフーリエ係数の線形結合として表現可能であり、それらの係数自体は超幾何トレース公式によって決定される。
• $S_k(\Gamma_0(3))$ および $S_k(\Gamma_0(9))$ におけるヘッケ作用素 $T_k(p)$ のトレースは、超幾何恒等式を用いて、低重量空間におけるトレースの再帰的表現をもつ。
• 3 次元多様体のモジュラリティは、その点数とモジュラー形式のフーリエ係数との関係を通じて確立され、後者は有限体上での超幾何関数を用いて計算される。