[論文レビュー] A trace formula for varieties over a discretely valued field

Johannes Nicaise|ArXiv.org|May 9, 2008

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 24被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、Bittnerの表現とNéron smootheningを用いて、特徴値が0の任意の$K$-代数的多様体へとモチーフ的Serre不変量を拡張することで、離散的価値体上の多様体に対してトレース公式を確立する。主な貢献は、$ S: \mathcal{M}_K \to K_0(\mathrm{Var}_k)/(ℓ-1) $ なる環準同型であり、非分岐点を測るコhomologically解釈可能な不変量を提供し、多様体のGrothendieck環の新たな実現を可能にする。

ABSTRACT

We study the motivic Serre invariant of a smoothly bounded algebraic or rigid variety $X$ over a complete discretely valued field $K$ with perfect residue field $k$. If $K$ has characteristic zero, we extend the definition to arbitrary $K$-varieties using Bittner's presentation of the Grothendieck ring and a process of Néron smoothening of pairs of varieties. The motivic Serre invariant can be considered as a measure for the set of unramified points on $X$. Under certain tameness conditions, it admits a cohomological interpretation by means of a trace formula. In the curve case, we use T. Saito's geometric criterion for cohomological tameness to obtain more detailed results. We discuss some applications to Weil-Châtelet groups, Chow motives, and the structure of the Grothendieck ring.

研究の動機と目的

• 特徴値が0の$K$-多様体に対して、モチーフ的Serre不変量を任意の代数的$K$-多様体へ一般化すること。
• 安定性条件の下で、トレース公式によるモチーフ的Serre不変量のコhomological解釈を提供すること。
• $\mathcal{M}_K$ から $K_0(\mathrm{Var}_k)/(\mathbb{L}-1)$ への計算可能な実現準同型を構成すること。
• Poincaré多項式などの不変量を用いて、多様体のGrothendieck環の構造を研究すること。
• 得られた結果をWeil-Châtelet群、Chowモチーフ、実現写像の非単射性への応用すること。

提案手法

• Grothendieck環のBittnerの表現を用いて、特徴値が0の任意の$K$-多様体へとモチーフ的Serre不変量を拡張すること。
• 吹き上げ関係を取り扱うために、滑らかで$K$-多様体の対に対する一般化されたNéron smootheningプロセスを導入すること。
• 有限型の分離射影のPoincaré多項式不変量を定義し、基底変更と整合性を持たせ、有限体上で正規化すること。
• $\mathcal{M}_K \to K_0(\mathrm{Var}_k)/(\mathbb{L}-1)$ なる環準同型$ S $ を構成し、すべての$K$-多様体におけるモチーフ的Serre不変量を実現すること。
• $S$ を用いて、Chowモチーフへの実現写像が非単射であることを示すこと。
• Poincaré多項式を用いて、スキーム上の構成可能関数を介して$K_0(\mathrm{Var}_k)$ と $\mathcal{M}_k$ の元を区別すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特徴値が0の離散的価値体上の任意の$K$-多様体へ、モチーフ的Serre不変量を滑らかで固有な多様体から拡張できるか。
• RQ2 非安定な場合においても、トレース公式によるモチーフ的Serre不変量のコhomological解釈が可能か。
• RQ3 ChowモチーフやPoincaré多項式のような実現準同型は、Grothendieck環の元を区別するためにどのように役立つか。
• RQ4 Néron smootheningは、吹き上げ関係の下でモチーフ的Serre不変量のwell-defined性を保証するために果たす役割は何か。
• RQ5 Poincaré多項式は、有限型の射に対して、構成可能で基底変更と整合する不変量として一意に特徴付けられるか。

主な発見

• 特徴値が0の$K$に対して、モチーフ的Serre不変量は、$ S: \mathcal{M}_K \to K_0(\mathrm{Var}_k)/(ℓ-1) $ なる一意的な環準同型へ一意に拡張され、$\mathcal{M}_K$ の計算可能な実現を提供する。
• $S$ は、Néron smootheningとBittnerの定理を用いて、滑らかで固有でない$K$-多様体に対しても、モチーフ的Serre不変量を実現する。
• Poincaré多項式 $P(f;T)$ は、分離有限型射の上での構成可能で基底変更と整合する不変量として一意に特徴付けられる。
• $S$ は、効果的Chowモチーフへの実現写像が非単射であることを示唆しており、命題7.9で示されている。
• Poincaré多項式は、任意のノエター的スキーム$X$に対して、$ K_0(\mathrm{Var}_X) \to \mathcal{C}(X,\mathbb{Z}[T]) $ なる環準同型を定義し、基底変更と整合する。
• トレース公式は安定性条件下で成り立ち、それにより、安定な$\ell$-進コホモロジーにおけるモノドロミー作用素のトレースと関連づけられる。