[論文レビュー] A trace inequality of Ando, Hiai and Okubo and a monotonicity property of the Golden-Thompson inequality

Eric A. Carlen, Élliott H. Lieb|arXiv (Cornell University)|Mar 11, 2022

Mathematical Inequalities and Applications参考文献 10被引用数 2

ひとこと要約

本稿では、特定の正値性条件の下で、アンドウ＝ヒアイ＝オクボ（AHO）トレース不等式の強化版を証明することにより、量子力学的演算子に対してゴールデン＝トマスのトレース不等式の単調性性質を確立する。Lieb-ThirringおよびH"olderの不等式を用いて、H = Δ または H = −√(−Δ + m)、K = ポテンシャルの場合、u ∈ [0,1] における Tr[e^{H+(1-u)K}e^{uK}] が単調増加であることを示し、s + t > 3/2 の場合でさえも、実正定値半定値行列に対してもAHO不等式が成立しないことを示す新たな反例を構成する。

ABSTRACT

The Golden-Thompson trace inequality which states that $Tr\, e^{H+K} \leq Tr\, e^H e^K$ has proved to be very useful in quantum statistical mechanics. Golden used it to show that the classical free energy is less than the quantum one. Here we make this G-T inequality more explicit by proving that for some operators, notably the operators of interest in quantum mechanics, $H=\Delta$ or $H= -\sqrt{-\Delta +m}$ and $K=$ potential, $Tr\, e^{H+(1-u)K}e^{uK}$ is a monotone increasing function of the parameter $u$ for $0\leq u \leq 1$. Our proof utilizes an inequality of Ando, Hiai and Okubo (AHO): $Tr\, X^sY^tX^{1-s}Y^{1-t} \leq Tr\, XY$ for positive operators X,Y and for $ frac{1}{2} \leq s,\,t \leq 1 $ and $s+t \leq frac{3}{2}$. The obvious conjecture that this inequality should hold up to $s+t\leq 1$, was proved false by Plevnik. We give a different proof of AHO and also give more counterexamples in the $ frac{3}{2}, 1$ range. More importantly we show that the inequality conjectured in AHO does indeed hold in this range if $X,Y$ have a certain positivity property -- one which does hold for quantum mechanical operators, thus enabling us to prove our G-T monotonicity theorem.

研究の動機と目的

• H = Δ や H = −√(−Δ + m) などの量子力学的演算子に対して、ゴールデン＝トマスのトレース不等式の単調性性質を確立すること。
• s + t > 3/2 であっても、X と Y に特定の正値性条件が課された場合に、アンドウ＝ヒアイ＝オクボ（AHO）トレース不等式 Tr[X^sY^tX^{1-s}Y^{1-t}] ≤ Tr[XY] が成り立つことを証明すること。
• s + t > 3/2 の場合に、Tr[X^sY^tX^{1-s}Y^{1-t}] が負になるような、実正定値半定値行列 X と Y に対する明示的反例を構成すること。
• AHO不等式における s + t ≤ 3/2 の条件が鋭いかどうかを明確にし、一般行列に対してそれが最適であることを示すこと。
• f_H,K(u) = Tr[e^{H+(1-u)K}e^{uK}] の単調性が、任意の自己共役 H と K に対して成り立つかどうかを検証すること。

提案手法

• 正定値半定値行列の積のトレースを評価するために、トレースノルムにおけるLieb-Thirring不等式およびH"olderの不等式を用いる。
• 四つの正定値半定値行列を含むトレース式に一般化されたH"olderの不等式を適用し、鍵となる不等式 (2.4) を導出する。
• ハウスホルダー反射を用いた摂動構成法を導入し、s + t > 3/2 の場合の反例を生成する。
• X₀ と Y₀ を互いに直交する範囲を持つ正射影とし、X と Y をそれらの摂動として構成することで、Tr[X₀^{1-s}Y₀^{1-t}X₀^sY₀^t] = 0 となるように保証する。
• 直交変換 R を用いて、摂動行列の非対角成分の符号を制御し、負のトレースを実現可能にする。
• 数値的評価を用いて、Tr[X^sY^tX^{1-s}Y^{1-t}] が Tr[XY] を上回る、または負になることを確認し、AHO不等式の破綻を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 量子力学的演算子 H と K に対して、ゴールデン＝トマスのトレース不等式がパrameter u に関して単調性を示すか？
• RQ2 s + t > 3/2 の場合でも、すべての s, t ∈ [0,1] に対してアンドウ＝ヒアイ＝オクボトレース不等式が成り立つか？
• RQ3 実正定値半定値行列 X と Y に対して、Tr[X^sY^tX^{1-s}Y^{1-t}] < 0 となる明示的反例を構成可能か？
• RQ4 AHO不等式における条件 s + t ≤ 3/2 は鋭いか？あるいは追加の正値性仮定の下で拡張可能か？
• RQ5 f_H,K(u) = Tr[e^{H+(1-u)K}e^{uK}] の単調性は、すべての自己共役 H と K に対して成り立つか、それとも特定の条件下でのみ成立するか？

主な発見

• H = Δ または H = −√(−Δ + m) であり、K がポテンシャルである場合、X と Y が量子力学的演算子であるという正値性条件の下で、f_H,K(u) = Tr[e^{H+(1-u)K}e^{uK}] は u ∈ [0,1] で単調増加である。
• s + t ≤ 3/2 かつ s, t ∈ [1/2,1] の場合、AHO不等式 Tr[X^sY^tX^{1-s}Y^{1-t}] ≤ Tr[XY] は成り立ち、X と Y に特定の正値性条件が課された場合、s + t ≤ 1 まで拡張可能である。
• s + t = 1.58 の場合に、Tr[X^sY^tX^{1-s}Y^{1-t}] > Tr[XY] となる反例が構成され、一般行列に対して s + t ≤ 3/2 が鋭いかどうかを示している。
• 別の反例では、s = t = 0.98 の場合に、Tr[X^sY^tX^{1-s}Y^{1-t}] < 0 であり、Tr[X^{1/2}Y^{1/2}X^{1/2}Y^{1/2}] > 0 であるため、AHO不等式が s + t > 3/2 の範囲で破綻することが証明された。
• 特定の H と K に対して、d/du f_H,K(u)|_{u=1} < −3 × 10^{-6} が計算され、一般の自己共役演算子では単調性が成立しないことが示された。
• 数値的証拠により、|X_t^{1,3} + X_t^{2,3}| の最大値が、|X_t^{1,3}| + |X_t^{2,3}| の 10^{-3} 倍未満であることが確認され、反例構成における三角不等式のほぼ達成状態が示された。