[論文レビュー] A trajectorial interpretation of the dissipations of entropy and Fisher information for stochastic differential equations

Joaquín Fontbona, Benjamin Jourdain|arXiv (Cornell University)|Jul 17, 2011

Stochastic processes and financial applications参考文献 16被引用数 27

ひとこと要約

本稿は、一般の凸エントロピーに対して非可逆拡散過程におけるエントロピーとフィッシャー情報の散逸を、経路に依存する確率的微分積分学に基づいて解釈する。ギルサノフ理論とデューブ・マイヤー分解を用いて、エントロピー散逸公式の確率的類似形を導出し、拡散行列の平方根に依存する、内挿的でない新しいバクリ＝エメール基準を提唱する。この基準は、古典的基準が失敗する場合でも、拡散過程の分布を変えずにU-エントロピーの指数的収束を保証する。

ABSTRACT

The dissipation of general convex entropies for continuous time Markov processes can be described in terms of backward martingales with respect to the tail filtration. The relative entropy is the expected value of a backward submartingale. In the case of (non necessarily reversible) Markov diffusion processes, we use Girsanov theory to explicit the Doob-Meyer decomposition of this submartingale. We deduce a stochastic analogue of the well known entropy dissipation formula, which is valid for general convex entropies, including the total variation distance. Under additional regularity assumptions, and using It\\^o's calculus and ideas of Arnold, Carlen and Ju \\cite{Arnoldcarlenju}, we obtain moreover a new Bakry Emery criterion which ensures exponential convergence of the entropy to $0$. This criterion is non-intrisic since it depends on the square root of the diffusion matrix, and cannot be written only in terms of the diffusion matrix itself. We provide examples where the classic Bakry Emery criterion fails, but our non-intrisic criterion applies without modifying the law of the diffusion process.

研究の動機と目的

• 連続時間のマコフ拡散過程におけるエントロピーおよびフィッシャー情報の散逸の経路的解釈を提供すること。
• 古典的エントロピー散逸公式を、全変動距離やカイ二乗距離を含む一般の凸エントロピーへ拡張すること。
• U-エントロピーのゼロへの指数的収束を保証する、内挿的でない新しいバクリ＝エメール基準を開発すること。
• 標準的バクリ＝エメール基準が失敗する場合でも、拡散過程の分布を変えずにこの新しい基準が適用可能であることを示すこと。
• 重み関数 α を用いて古典的基準と新しい基準を統合したハイブリッド基準を構築し、既存の基準を統一的かつ比較的に扱うこと。

提案手法

• U(dPs/dQs(XQs)) からなる後向きの下 martingale にデューブ・マイヤー分解を適用し、確率的エントロピー散逸公式を導出する。
• 時間非定常拡散過程下で、この下 martingale の有限変動部と局所 martingale 部をギルサノフ理論を用いて明示的に計算する。
• 伊藤の積分法と生成作用素の分解を用い、U-フィッシャー情報の散逸を拡散行列 a = σσ* の平方根 σ で表す。
• 拡散行列 a のみに依存するのではなく、σ に依存する新しいバクリ＝エメール型基準を導出する。これにより、内挿的でない基準が得られる。
• C1 級関数 α を用いて、新しい基準と古典的基準を重み付けし、部分積分から生じる微分項を含むハイブリッド基準を導入する。
• アーノルド、カルレン、ジュ（2001）の結果を再現・比較することで、手法の妥当性を検証し、時間反転と非可逆性の役割を強調する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 経路に依存する確率的微分積分学的手法により、全変動距離を含むすべての凸エントロピーに対するエントロピー散逸公式を一般化できるか？
• RQ2 U-フィッシャー情報の散逸を、拡散行列そのものではなく、その平方根 σ でどのように表現できるか？
• RQ3 新しい内挿的でないバクリ＝エメール基準が、U-エントロピーのゼロへの指数的収束を保証する条件は何か？
• RQ4 標準的バクリ＝エメール基準が失敗する状況において、新しい基準が適用可能であり、かつ拡散過程の分布を変えずに成立する条件は何か？
• RQ5 新しい基準を古典的基準とどのように組み合わせ、より強固な収束条件を得られるか？

主な発見

• 本稿は、すべての U ∈ C2(R+) に対して有効である一般の凸エントロピーに対する、エントロピー散逸公式の確率的類似形を確立した。これには U(x) = x ln x、(x−1)²、|x−1| が含まれる。
• U-フィッシャー情報の散逸が、非負の半マルティンゲールの期待値に等しいことが示され、そのドリフト部はギルサノフ理論と伊藤の積分法により明示的に計算された。
• 拡散行列 a の平方根 σ に依存する、内挿的でない新しいバクリ＝エメール基準が導出され、U-エントロピーのゼロへの指数的収束を保証する。
• この基準は古典的基準より厳密に弱い：古典的基準が失敗するが新しい基準が成立する例が存在し、その場合も拡散過程の分布は同一のままである。
• C1 級重み関数 α を用いた統合基準により、古典的基準と新しい基準の間で補間が可能となり、収束速度は α の微分に依存する。
• 本手法により、アーノルド、カルレン、ジュ（2001）の結果が再現・再解釈され、彼らの行列 Y11 が内挿的であるのに対し、新しい項 Γ11 は内挿的でないことが明らかになり、基礎となる仮定の根本的な違いが浮き彫りにされた。