[論文レビュー] A transcendental approach to Kollár's injectivity theorem II

Osamu Fujino|arXiv (Cornell University)|May 9, 2007

Geometry and complex manifolds参考文献 21被引用数 17

ひとこと要約

本稿は、曲率条件とOhsawa–TakegoshiのねじれたNakano恒等式に基づく超越的アプローチを用いて、Kollárの単射定理の相対的バージョンを確立する。Nakano半正定性およびラインバンドル上の曲率バウンドの下で、正則セクションによる乗算が、乗算理想層を備えた canonical バンドルの高次直接像に単射写像を誘導することを証明する。

ABSTRACT

We treat a relative version of the main theorem in my previous paper: A transcendental approach to Kollár's injectivity theorem. More explicitly, we give a curvature condition that implies Kollár type cohomology injectivity theorems in the relative setting. To carry out this generalization, we use the Ohsawa-Takegoshi twisted version of Nakano's identity.

研究の動機と目的

• 解析的手法を用いて、Kollárの単射定理を相対的設定に一般化すること。
• 特異計量を備えた正則バンドルの曲率条件の下で、コホモロジー的単射性定理を確立すること。
• 曲率に基づく基準を用いて、複素幾何における torsion-free 性と消失定理のフレームワークを提供すること。
• 乗算理想層を用いて、Enokiの単射定理およびKawamata–Viehweg–Nadelの消失定理を相対的準同型に拡張すること。
• 代数幾何における消失定理の幾何的および解析的アプローチの関係を明確にすること。

提案手法

• ベクトルバンドル上の $\bar{\partial}$-方程式を分析するために、Nakanoの恒等式のOhsawa–Takegoshiのねじれたバージョンを用いる。
• 曲率条件を適用する: $\Theta(E) + \mathrm{Id}_E \otimes \Theta(F)$ の Nakano 半正定性および $\Theta(F) \geq -\widetilde{\gamma}$ を測度の意味で。
• 単射性を保証するために、$\varepsilon_0 \mathrm{Id}_E \otimes \Theta(L)$ を含む厳密な正定性条件を課す。
• ラインバンドル上の特異ヘルメートィアン計量に関連する乗算理想層 $\mathcal{J}(h_F)$ を用いる。
• 正則セクション $s$ に対して誘導される写像 $\times s: R^q f_*(K_X \otimes E \otimes F \otimes \mathcal{J}(h_F)) \to R^q f_*(K_X \otimes E \otimes F \otimes \mathcal{J}(h_F) \otimes L)$ を分析する。
• 複素多様体およびケーラー多様体間の全射な準同型 $f: X \to Y$ を用いた相対的設定を採用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 相対的設定において、正則セクションによる乗算が高次直接像に単射性を誘導する曲率条件は何か？
• RQ2 Nakano 半正定性と特異計量の曲率バウンドをどのように組み合わせれば、直接像層の torsion-free 性を保証できるか？
• RQ3 相対的状況において、Kollárの幾何的単射定理とEnokiの解析的バージョンの正確な関係は何か？
• RQ4 Ohsawa–Takegoshi のねじれた Nakano 恒等式を用いて、乗算理想層に対する新しい消失定理を導出できるか？
• RQ5 ネフかつビッグではあるが半正則でないラインバンドルの例は存在するか？ そして、それらはコホモロジー的単射性にどのように影響を与えるか？

主な発見

• 主定理は、曲率および計量条件の下で、$R^q f_*(K_X \otimes E \otimes F \otimes \mathcal{J}(h_F))$ 上の乗算写像 $\times s$ の単射性を確立する。
• すべての $q \geq 0$ に対して、$R^q f_*(K_X \otimes E \otimes F \otimes \mathcal{J}(h_F))$ の torsion-free 性が証明され、その結果、$q > \dim X - \dim Y$ のとき、この層が消失することを示す。
• Kawamata–Viehweg–Nadel 型の消失定理が得られる：$f$-ネフ・ビッグおよび Nakano 半正定性の下で、$R^q f_*(K_X \otimes E \otimes \mathcal{L} \otimes \mathcal{J}) = 0$ ($q > 0$)。
• Kollár 型の消失定理が導出される：$\mathcal{L}^\otimes m \simeq f^*\mathcal{N} \otimes \mathcal{O}_X(D)$ かつ $\mathcal{N}$ が $g$-ネフ・ビッグのとき、$R^p g_* R^q f_*(K_X \otimes E \otimes \mathcal{L} \otimes \mathcal{J}) = 0$ ($p > 0$, $q \geq 0$)。
• 半正定性が半正則性を意味しない例が構成され、$\mathcal{M} \cdot C' > 0$ がすべての曲線 $C'$ に対して成り立つ場合でさえ、単射性が失敗する例が存在することが示される。
• 本稿では、正の交点数を持つが切断が存在しないラインバンドル（例 5.9 など）が、半正定曲率を持つ滑らかなヘルメートィアン計量を備えるかどうかは未解決のまま残されている。