[論文レビュー] A Transport Equation Approach to Calculations of Green functions and HaMiDeW coecients

Adrian C. Ottewill, Barry Wardell|arXiv (Cornell University)|May 29, 2009

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 7被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、量子場理論および重力理論において不可欠な基本的双スカラー量—世界関数、ヴァン・ヴレック行列式、テイル項 V(x;x′) など—を計算するための輸送方程式系を導入する。Mathematica で実装された半再帰的共変級数法を用いることで、標準的なラップトップ上で数分でこれらの対象物の高次テイラー展開（最大20次まで）が可能となり、特にニャリアイ時空およびシュワルツシルト時空における光線に沿った測地線への応用が示される。

ABSTRACT

Building on a fundamental insight due to Avramidi, we provide a system of transport equations for determining key fundamental bi-tensors, including derivatives of the world-function, (x;x 0 ), the square root of the Van Vleck determinant, 1=2 (x;x 0 ), and the tail-term, V (x;x 0 ), appearing in the Hadamard form of the Green function. These bi-tensors are central to a broad range of problems from radiation reaction to quantum eld theory in curved spacetime and quantum gravity. Their transport equations may be used either in a semi-recursive approach to determining their covariant Taylor series expansions or as the basis of numerical calculations. To illustrate the power of the semi-recursive covariant series approach, we present an implementation in Mathematica which computes very high order covariant series expansions of these objects. Using this, a moderate laptop can, for example, calculate the coincidence limit [a7(x;x)] and V (x;x 0 ) to order ( a ) 20 in a matter of minutes. Results may be output in either a compact notation or in xTensor form. We also numerically integrate the transport equations along null geodesics in Nariai and Schwarzschild spacetimes.

研究の動機と目的

• 曲がった時空における世界関数やヴァン・ヴレック行列式といった主要な双スカラー量を体系的に計算するための手法を開発すること。
• 量子場理論および重力理論への応用を想定した、これらの双スカラー量の高次共変テイラー展開の計算的課題に対処すること。
• 測地線に沿った解析的級数と数値積分の両方を可能にする、輸送方程式に基づく数値的に取り扱いやすいフレームワークを提供すること。
• Mathematica を用いた記号計算により、一致極限とテイル項の効率的計算を可能とすること。

提案手法

• 世界関数、その微分、ヴァン・ヴレック行列式の平方根、およびテイル項 V(x;x′) のための輸送方程式系を導出する。
• 半再帰的アルゴリズムを用いて、輸送方程式を応用し、双スカラー量の高次共変テイラー展開を計算する。
• アルゴリズムを Mathematica に実装し、高次級数計算の自動化を実現するとともに、compact 表記または xTensor 形式の出力をサポートする。
• ニャリアイ時空およびシュワルツシルト時空における光線に沿った測地線に沿って、輸送方程式を数値的に積分して手法の妥当性を検証する。
• アブラミディの知見を活用し、グリーン関数の成分を測地線に沿った一階微分方程式の解として再定式化する。
• 本手法を用いて、[a7(x;x)] や V(x;x′) の一致極限を (a)^20 までの高次まで効率的に計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 曲がった時空における基本的双スカラー量のための輸送方程式を体系的に導出する方法は何か？
• RQ2 グリーン関数成分の高次共変テイラー展開を生成するための半再帰的アプローチの計算効率はいかほどか？
• RQ3 ニャリアイ時空やシュワルツシルト時空といった非自明な時空において、輸送方程式を光線に沿って数値的に積分できるか？
• RQ4 Mathematica などの記号計算ツールは、高次一致極限の計算をどの程度高速化できるか？
• RQ5 本手法は、曲がった時空におけるテイル項 V(x;x′) の計算に対して、どの程度の精度とスケーラビリティを示すか？

主な発見

• 半再帰的手法により、標準的なラップトップ上で数分で [a7(x;x)] および V(x;x′) の (a)^20 までの一致極限が計算可能である。
• Mathematica 実装は、compact 表記と xTensor 形式の両方の出力をサポートしており、テンソリアルソフトウェアへのシームレスな統合を可能にしている。
• ニャリアイ時空およびシュワルツシルト時空の両方において、測地線に沿った輸送方程式の数値積分が成功裏に実行された。
• 輸送方程式フレームワークは、グリーン関数のハダマード形のすべての主要な構成要素を一元的かつ体系的に計算するための手法を提供する。
• 高次級数展開は、放射反応や曲がった時空における量子場理論への応用に適した完全な共変的精度で計算されている。
• 複雑な幾何的対象の直接微分を回避し、代わりに一階の輸送方程式を解くことで、高い計算効率が達成されている。