[論文レビュー] A Triple-Error-Correcting Cyclic Code from the Gold and Kasami-Welch APN Power Functions

Xiangyong Zeng, Jinyong Shan+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 31, 2010

Coding theory and cryptography参考文献 19被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、奇数の $ m \geq 5 $ に対して長さ $ 2^m - 1 $ の新しい三誤り訂正可能な二値循環符号 $ \tilde{\mathcal{C}}_{1,3,13} $ を構成する。この符号は、$ \mathrm{GF}(2^m) $ 内の原始元 $ \beta $ を用いて、零点 $ \beta $, $ \beta^3 $, $ \beta^{13} $ で定義される。符号はゴールド（$ x^3 $）およびカサミ・ウェルチ（$ x^{13} $）のほぼ完全非線形（APN）累乗関数に由来し、古典的な原始的BCH符号 $ \tilde{\mathcal{C}}_{1,3,5} $ と同じ重み分布を有することが証明され、誤り訂正能力およびスペクトル的性質において最適性が確立される。

ABSTRACT

Based on a sufficient condition proposed by Hollmann and Xiang for constructing triple-error-correcting codes, the minimum distance of a binary cyclic code $\mathcal{C}_{1,3,13}$ with three zeros $α$, $α^3$, and $α^{13}$ of length $2^m-1$ and the weight divisibility of its dual code are studied, where $m\geq 5$ is odd and $α$ is a primitive element of the finite field $\mathbb{F}_{2^m}$. The code $\mathcal{C}_{1,3,13}$ is proven to have the same weight distribution as the binary triple-error-correcting primitive BCH code $\mathcal{C}_{1,3,5}$ of the same length.

研究の動機と目的

• 長さ $ 2^m - 1 $ で奇数の $ m \geq 5 $ に対して、新しい三誤り訂正可能な二値循環符号を構成すること。
• ゴールドおよびカサミ・ウェルチのAPN累乗関数 $ x^3 $ および $ x^{13} $ に由来する符号パラメータを特定すること。
• 符号 $ \mathcal{C}_{1,3,13} $ がよく知られた原始的BCH符号 $ \mathcal{C}_{1,3,5} $ と同じ重み分布を有することを証明すること。
• 符号 $ \mathcal{C}_{1,3,13} $ の双対符号が、$ 2^{(m-1)/2} $ で割り切れる重みを持つこと、したがってホルマンとシャンの重み分布の等価性に関する十分条件を満たすことの確認。
• 既知の重み分布が同一である符号のクラスに、異なるAPN関数族に由来する新しいAPN指数のペアを含める拡張。

提案手法

• ホルマンとシャンの十分条件を活用：長さ $ 2^m - 1 $ の二値循環符号が最小距離 $ \geq 7 $ であり、かつ双対符号の重みがすべて $ 2^{(m-1)/2} $ で割り切れるならば、符号は $ \mathcal{C}_{1,3,5} $ と同じ重み分布を持つ。
• 双対符号 $ \mathcal{C}_{1,3,13}^\perp $ を、$ \epsilon, \gamma, \delta \in \mathbb{F}_{2^m} $ に対して、$ \left( \mathrm{Tr}^m_1(\epsilon x + \gamma x^3 + \delta x^{13}) \right)_{x \in \mathbb{F}_{2^m}^*} $ の形のベクトルの集合として分析する。
• MacWilliamsの恒等式を用いて、双対符号の重み分布を比較することで、$ \mathcal{C}_{1,3,13} $ と $ \mathcal{C}_{1,3,5} $ の重み分布が等しいことを同定する。
• すべての既知のAPN指数ペアを検証するため、$ m = 5, 7, 9, 11 $ に対して体系的な計算実験を実施し、$ (d_1, d_2) = (3,13) $ が新しい有効なペアであることを同定する。
• 係数の $ 2 $ 進付値と円分同値を用いた代数的技法を適用し、特定の線形結合の最大重みを評価する。
• 文献[17]の一般化された結果を用いて、$ M(m;3,13) = (m - \gcd(m,r))/2 $ を証明し、双対符号内の符号語の最大重みが理論的上限に達していることを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 二値循環符号 $ \mathcal{C}_{1,3,13} $ が零点 $ \alpha, \alpha^3, \alpha^{13} $ を持ち、最小距離が 7 以上であるか。
• RQ2 双対符号 $ \mathcal{C}_{1,3,13}^\perp $ が、奇数の $ m \geq 5 $ に対してすべての重みが $ 2^{(m-1)/2} $ で割り切れるか。
• RQ3 符号 $ \mathcal{C}_{1,3,13} $ が原始的BCH符号 $ \mathcal{C}_{1,3,5} $ と同じ重み分布を持つか。
• RQ4 $ (3,13) $ のペアがゴールドおよびカサミ・ウェルチのAPN関数に由来する場合、$ \mathcal{C}_{1,3,5} $ と同じ重み分布を持つ新しい三誤り訂正可能な符号を生成できるか。
• RQ5 既存の構成法（例：$ \{2^r+1, 2^{3r}+1\} $ や $ \{2^{(m+1)/2}+1, (2^{(m+1)/2}+1)^2\} $）では説明できない、$ \mathcal{C}_{1,3,5} $ と同じ重み分布を持つ他のAPN指数ペアは存在するか。

主な発見

• 符号 $ \mathcal{C}_{1,3,13} $ は最小距離が正確に 7 であることが証明され、三誤り訂正の要件を満たす。
• 双対符号 $ \mathcal{C}_{1,3,13}^\perp $ はすべての重みが $ 2^{(m-1)/2} $ で割り切れることが確認され、ホルマンとシャンの基準における重要な条件を満たす。
• 符号 $ \mathcal{C}_{1,3,13} $ の重み分布は、古典的な原始的BCH符号 $ \mathcal{C}_{1,3,5} $ と同じであることが、MacWilliamsの恒等式と $ m = 5, 7, 9, 11 $ における計算的検証により確認された。
• ペア $ (d_1, d_2) = (3,13) $ は、既存の構成法（例：$ \{2^r+1, 2^{3r}+1\} $ や $ \{2^{(m+1)/2}+1, (2^{(m+1)/2}+1)^2\} $）では説明できない新しい有効なペアであり、表3では新たに発見されたものとして $ \bigstar $ でマークされている。
• 形 $ \mathrm{Tr}^m_1(\epsilon x + \gamma x^3 + \delta x^{13}) $ の線形結合の最大重み $ M(m;3,13) $ が $ k = (m - \gcd(m,r))/2 $ に等しいことが示され、$ M(m;3) $ の上限と一致し、境界のタイトさが確認された。
• 構成法は他のAPN関数へ一般化可能である：$ \mathbb{F}_{2^m} $ 上で異なるAPN関数 $ f(x) $ と $ g(x) $ が与えられたとき、双対符号が $ \mathcal{C}^\perp = \{ \mathrm{Tr}^m_1(\epsilon x + \gamma f(x) + \delta g(x)) \} $ である符号は、同様の条件下で、重み分布が同一の新しい符号を生成する可能性がある。