[論文レビュー] A tropical isoperimetric inequality

Jules Depersin, Stéphane Gaubert+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 13, 2016

Mathematics and Applications参考文献 18被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、多面体の新たなトロピカル体積の概念を定義することで、古典的等周不等式のトロピカル版を導入する。トロピカル直径が固定された場合に、この体積を最大化するトロピカル単体は、通常の凸多面体であるポリトロープと呼ばれるものであることが示され、これらのポリトロープがトロピカル直径が固定された場合に唯一の体積最大化者であることが示される。この主要な結果により、トロピカル幾何学と古典的凸幾何学、および線形計画法における複雑性理論が結びつけられる。

ABSTRACT

We introduce tropical analogues of the notion of volume of polytopes, leading to a tropical version of the (discrete) classical isoperimetric inequality. The planar case is elementary, but a higher-dimensional generalization leads to an interesting class of ordinary convex polytopes, characterizing the equality case in the isoperimetric inequality. This study is motivated by open complexity questions concerning linear optimization and its tropical analogs.

研究の動機と目的

• トロピカル多面体のための新しい体積概念を用いて、古典的等周不等式のトロピカル版を構築すること。
• 固定されたトロピカル直径下でこの体積を最大化するトロピカル多面体を同定すること。
• 線形計画法におけるトロピカル凸性と古典的凸幾何学、および複雑性理論を結びつけること。
• トロピカル体積、対数極限集合、およびイデムポテンス測度との関係を調査すること。
• 高次元における等直径トロピカル多面体の組合せ的および幾何的構造を調査すること。

提案手法

• トロピカル距離を、座標差の最大値と最小値の差として定義する：$\operatorname{tdist}(v,w) = \max_i(v_i - w_i) - \min_i(v_i - w_i)$。
• トロピカル多面体の生成子の行をもつ行列のトロピカル行列式に基づいて、新たなトロピカル体積 $\operatorname{tvol}$ を定義する。
• 量子化の逆操作（dequantization）を用いて、対数スケーリング下での正規化された古典的体積の極限として、第二の体積 $\operatorname{qtvol}^+$ を定義する。
• $\operatorname{qtvol}^+$ が強多項式時間で解ける最適輸送問題の解として計算可能であることを証明する。
• 等周不等式における等号成立を特徴づけ、体積を最大化するものがポリトロープ（同時に通常の凸多面体であるトロピカル固有空間）であることを示す。
• 体積 $\operatorname{vol} \operatorname{conv} A$ に対して $\operatorname{qtvol}^+$ を用いた上界を与える。$\operatorname{vol} \operatorname{conv} A \leq \alpha(d+1)\exp(\operatorname{qtvol}^+ \operatorname{Log} A)$ が成り立つ。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 固定されたトロピカル直径下で、どのトロピカル多面体が新しいトロピカル体積を最大化するか。
• RQ2 新しいトロピカル体積概念は、古典的体積および対数極限集合とどのように関係するか。
• RQ3 次元 $d \geq 5$ における等直径トロピカル多面体の組合せ的構造は何か。
• RQ4 トロピカル等周不等式は、長方形行列や低次元トロピカル体積へ拡張可能か。
• RQ5 体積の上界 $\operatorname{vol} \operatorname{conv} A \leq \alpha(d+1)\exp(\operatorname{qtvol}^+ \operatorname{Log} A)$ の最適定数は何か。

主な発見

• 固定されたトロピカル直径下で、新しいトロピカル体積を最大化するトロピカル多面体は、正確にポリトロープである。ポリトロープとは、通常の凸多面体であり、同時にトロピカル固有空間であるものである。
• $d=3$ および $d=4$ の次元では、トロピカル直径が固定された場合に体積を最大化する、一意の一般型の組合せ型のポリトロープが存在する。
• 量子化の逆操作による体積 $\operatorname{qtvol}^+$ は、最適輸送問題の解として強多項式時間で計算可能である。
• 多面体の古典的体積は、$\alpha(d+1)\exp(\operatorname{qtvol}^+ \operatorname{Log} A)$ によって上界で抑えられ、ここで $\alpha$ は点配置の三角形分割における最大セルの数である。
• 量子化の逆操作による体積は、$\operatorname{tvol}$ を最大化するものよりも構造が緩い行列に対して等号が成立するため、退化した等周不等式をもたらす。
• トロピカル体積 $\operatorname{tvol}$ は、一般のトロピカル多面体の空間上でイデムポテンス測度であり、$\operatorname{tvol} \bar{A} > 0$ であることは、$\bar{A}$ のトロピカル行列式における一意の最大化置換が存在することと同値である。