[論文レビュー] A trust-region SQP method for the numerical approximation of viscoplastic fluid flow

Timm Treskatis, Miguel Moyers-González+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 30, 2015

Rheology and Fluid Dynamics Studies参考文献 34被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、粘塑性流体の流れをシミュレートするための信頼域逐次二次計画法（TR-SSQP）を提案する。問題を応力に基づく双対変数で再定式化することで、滑らかさが向上し、収束性が優れる。従来広く使われている増大ラグランジュ法（ALG2）を上回り、人工的正則化やメッシュ依存性なしに、Herschel-Bulkley流れにおいてCPU時間で最大140倍の高速化を達成した。

ABSTRACT

We present a new approach to the problem of stationary viscoplastic duct flow as modelled by the Herschel-Bulkley model, with Bingham fluids included as a special case. While the mathematical formulation of this problem is conventionally based on a variational inequality, or equivalently, on a nonsmooth minimisation problem for the flow velocity, we suggest an alternative approach. Considering the Lagrangian dual in terms of the stress, rather than the velocity, turns out to be advantageous in numerous ways. The objective functional possesses higher regularity, which ensures applicability of second order methods. Our numerical experiments with a trust-region SQP algorithm also demonstrate clearly superior performance compared to the widely used augmented Lagrangian method, although no artificial regularisation is introduced into the problem. Hence, besides providing a new theoretical angle to a classical problem, our results also pave the way for an entirely new class of numerical approaches to simulating flows of viscoplastic fluids.

研究の動機と目的

• 粘塑性流体の流れを数値的にシミュレートする際の数値的課題、特に降伏応力挙動に起因する滑らかでない性質や悪条件性に対処すること。
• 従来の増大ラグランジュ法に起因する制限を克服すること。特に、収束が遅く、アルゴリズムパラメータに敏感である点。
• 双対定式化における高い正則性を活用する、ロバストで2次収束性を有する手法を開発すること。
• 人工的粘性や正則化を導入せず、塑性挙動を正確に捉える新しい数値フレームワークを提供すること。
• BinghamおよびHerschel-Bulkley流れの両状況において、ALG2に比べて顕著な計算性能の向上を示すこと。

提案手法

• 従来の速度に基づく変分不等式ではなく、応力に基づく双対定式化を用いて、粘塑性流れ問題を再定式化し、滑らかな目的関数を導出する。
• 有限要素法を用いて双対問題を離散化し、有限次元の最適化問題を得る。
• 得られた滑らかで制約付きの最適化問題を解くために、信頼域逐次二次計画法（TR-SSQP）アルゴリズムを適用する。
• 信頼域フレームワークを用いることで、ヘッセ行列の近似が悪くても、グローバル収束性とロバスト性を保証する。
• 正確なラインサーチと信頼域更新を組み合わせ、内側反復を一切不要とし、超線形収束を維持する。
• 人工的正則化や粘性を避けることで、粘塑性挙動の物理的正確性を保持する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 応力変数に基づく双対定式化は、従来の速度に基づく定式化と比較して、粘塑性流れの最適化問題をより滑らかにできるか？
• RQ2 信頼域SQP法は、粘塑性流れに対して、増大ラグランジュ法（ALG2）と比較してより高速な収束性と優れた性能を示せるか？
• RQ3 BinghamおよびHerschel-Bulkley流体において、メッシュの細分化および降伏応力の変化に伴い、提案手法TR-SSQPの性能はどのように変化するか？
• RQ4 人工的正則化や粘性を導入しない状態でも、この手法はロバスト性と効率性を維持できるか？
• RQ5 流体の流れ挙動（例：剪切薄性指数α）が、TR-SSQPアルゴリズムの収束挙動に与える影響は何か？

主な発見

• Herschel-Bulkley流れ（α = 1.5）において、信頼域SQP（TRS）法はALG2法に比べ最大140倍の高速化を達成した。
• α = 1.5、τ₀ = 0.1の場合、4308ノードのメッシュ上でTRS法はCPU時間17秒で完了したのに対し、ALG2法は116.62秒を要し、速度向上比は114倍であった。
• TRS法は、メッシュの細分化および低い降伏応力の条件下で反復回数が減少する傾向を示し、より困難な条件下でも効率的であることを示した。
• 非対称な幾何形状（キウィパイプ幾何）においても、TRS法は優れた性能を維持し、最大6.7倍の速度向上を達成した。
• TRS法とALG2法の解との相対差は常に1e-3未満であり、高速な収束にもかかわらず、解の正確性が保証された。
• TRS法はメッシュ依存性がなく、パラメータチューニングや内側反復を一切必要とせず、ALG2法とは異なり、ロバストな収束性を示した。