[論文レビュー] A Trustful Monad for Axiomatic Reasoning with Probability and Nondeterminism

Reynald Affeldt, Jacques Garrigue+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 22, 2020

Logic, Reasoning, and Knowledge参考文献 41被引用数 11

ひとこと要約

この論文は、確率的選択と非決定的選択を組み合わせ、べき等な確率的選択を備えた信頼性のあるモデルである幾何的凸モナドのCoqにおける最初の形式的定式化を提示する。同論文は、形式化された凸空間、半完備半ラティス、および具象圏を用いて随伴関手を介してモナドを構築し、等式的推論を可能にするとともに、ギブンスとヒンツェの公理の不整合を、誤った右分配則を排除することで検証可能に解消する。

ABSTRACT

The algebraic properties of the combination of probabilistic choice and nondeterministic choice have long been a research topic in program semantics. This paper explains a formalization in the Coq proof assistant of a monad equipped with both choices: the geometrically convex monad. This formalization has an immediate application: it provides a model for a monad that implements a non-trivial interface which allows for proofs by equational reasoning using probabilistic and nondeterministic effects. We explain the technical choices we made to go from the literature to a complete Coq formalization, from which we identify reusable theories about mathematical structures such as convex spaces and concrete categories, and that we integrate in a framework for monadic equational reasoning.

研究の動機と目的

• 確率的選択と非決定的選択を組み合わせた、形式的かつ一貫性のあるモナド的等式的推論のモデルを提供すること。
• ギブンスとヒンツェの元々の公理的定式化における不整合を、バインドに関する右分配則を排除することで解消すること。
• べき等な確率的選択と無限非決定的選択をサポートするモナドを形式化し、代数的整合性を保証すること。
• 確率的および非決定的効果を組み合わせたモナドの枠組みMonaeを、欠落していたモデルを補完することで拡張すること。
• 将来のプログラム意味論における形式的定式化に向け、再利用可能な形式的数学的理論（凸空間、具象圏、半完備半ラティス）を構築すること。

提案手法

• 確率的選択と凸結合をモデル化するため、凸空間およびアフィン関数を形式化する。
• 非決定的選択を表すために、空でない凸冪集合関手の形式化を導入する。
• ベアリエュの作用素を用いて無限非決定的選択をモデル化するため、半完備半ラティス構造を定義する。
• 随伴関手によるモナド構築の基盤として、具象圏を構築する。
• 凸空間と半ラティスの間の随伴を用いて、合成により幾何的凸モナドを導出する。
• Coqのパッケージクラスとモジュラー設計を活用し、再利用性と既存の定式化（例：Monae）への統合を確保する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 確率的選択のべき等性を保ちつつ、確率的選択と非決定的選択を組み合わせたモナドを形式的に構築できるか？
• RQ2 ギブンスとヒンツェの元々の公理的定式化における右分配則に起因する不整合は、形式的モデルでどのように回避できるか？
• RQ3 Coqのような証明支援システムで、このようなモナドの構築に必要な形式的数学的構造は何か？
• RQ4 再利用可能でモジュラーなコンポONENTSを用いて、随伴関手を介して幾何的凸モナドを構築できるか？
• RQ5 この形式的定式化は、Monaeのような既存のモナド的等式的推論フレームワークにどのように統合できるか？

主な発見

• 幾何的凸モナドは、凸空間と半完備半ラティスの間の随伴関手の合成として、Coqにおいて形式的に構築された。
• 形式的定式化は、問題のある右分配則を排除することで、ギブンスとヒンツェの元々の公理的定式化の不整合を効果的に回避した。
• モナドは、べき等な確率的選択と無限非決定的選択の両方をサポートしており、後者はベアリエュの作用素を用いてモデル化された。
• 形式的定式化には、凸空間、凸冪集合、半完備半ラティス、具象圏の再利用可能な理論が含まれており、すべてモジュラーなフレームワークに統合された。
• モナドはモンティ・ホール問題の機械的定式化に成功し、モナド的等式的推論における実用性を示した。
• 本研究により、確率的および非決定的インターフェースを組み合わせたモナドの枠組みMonaeが、信頼できるモデルを備えて完成した。