[論文レビュー] A Tur'an-type problem for circular arc graphs

Rosalie Carlson, Stephen Flood+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 19, 2011

Advanced Graph Theory Research被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、円弧グラフにおけるTurán型の極値問題を解き、任意の点が最小m個から最大M個の弧で被覆される制約下で、可能な最大エッジ数を特定している。点が少なくともM個の弧で被覆されることが保証されるエッジ数の鋭い上限を確立し、区間グラフの結果を一般化し、円形の政治的スケールを有する承認投票理論への応用を提供している。

ABSTRACT

A circular arc graph is the intersection graph of a collection of connected arcs on the circle. We solve a Tur'an-type problem for circular arc graphs: for n arcs, if m and M are the minimum and maximum number of arcs that contain a common point, what is the maximum number of edges the circular arc graph can contain? We establish a sharp bound and produce a maximal construction. For a fixed m, this can be used to show that if the circular arc graph has enough edges, there must be a point that is covered by at least M arcs. In the case m=0, we recover results for interval graphs established by Abbott and Katchalski (1979). We suggest applications to voting situations with interval or circular political spectra.

研究の動機と目的

• 任意の点が最小m個から最大M個の弧で被覆されるという制約下で、円弧グラフの最大エッジ数を特定すること。
• 少なくともM個の弧で被覆される点が存在することを保証するエッジ数の鋭い閾値を確立すること。
• Helly性が必ずしも成り立たない円弧グラフに、区間グラフの結果（AbbottとKatchalski, 1979）を一般化すること。
• 与えられた最小被覆率γのもとで、エッジ割合αと一致率βの間の連続的漸近的関係を確立すること。
• 実世界の応用、たとえば円形の政治的スケールにおける承認投票への結果の適用

提案手法

• 交差グラフにおけるエッジ数と二重交差数を、弧の端点の累積和に関連付ける公式（定理7）を導出する。
• mとMを固定したもとでエッジ数を最大化するための組合せ最適化を用い、弧の最大配置を構築する。
• 鳩の巣原理を適用し、導出された二重交差数の上限を超えると、少なくともM+1個の弧で被覆される点が存在することを示す。
• エッジ割合αを同意率βと最小被覆率γの関数として表現することで、連続的漸近的境界（定理18）を確立する。
• 有限nに対する離散的境界（定理17）を導出し、e_minを超えるエッジ数が存在する場合、少なくともM個の弧で被覆される点が存在することを示す。
• 承認集合が円上に配置されたN個の候補に制限される特別な場合を検討し、エッジ数にNを含むより鋭い境界が得られること（命題22）を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 円周上の任意の点が少なくともm個かつ多くともM個の弧で被覆される場合、円弧グラフが取りうる最大エッジ数は何か？
• RQ2 最小被覆率mが与えられたもとで、少なくともM個の弧で被覆される点が存在することを保証するには、何本のエッジが必要か？
• RQ3 区間グラフの結果を円弧グラフに拡張できるか。もし可能であれば、境界はどのように異なるか？
• RQ4 大きな円弧グラフシステムにおいて、存在するエッジの割合と、共通して被覆される点をカバーする弧の割合の間の漸近的関係は何か？
• RQ5 与えられたエッジ割合p、一致率β、最小被覆率γの組み合わせが、円弧システムで同時に実現可能となる条件は何か？

主な発見

• 最小被覆率mと最大被覆率Mをもつ円弧系における二重交差数の最大値は、d_max = m(2M - m - 1)/2 である。
• 最大エッジ数e_minは、それを超えると少なくともM+1個の弧で被覆される点が存在することを保証する。
• nが十分に大きい場合、二重交差数の最大割合はp_max(β, γ) = β²γ(2 - γ) であり、有効なβ値に対してβに関して厳密に増加する。
• α（エッジ割合）をβ（一致率）を保証するための漸近的境界は、次式の区分的関数として与えられる：β ≤ 1/2 のとき α = β(2 - (1 - γ)²β)、β > 1/2 のとき α = β(γ + 1)(2 - β(γ + 1))。
• γ = 1（すなわち、すべての点が少なくともn - 1個の弧で被覆される）の場合、境界はα = 2βに単純化され、エッジの半分で一致率1/4が保証される。
• N個の候補が円上に配置される場合、最大エッジ数はe_max ≤ (2nM - n²/N - n)/2 で抑えられ、漸近的にはα = 2β - 1/Nに減少する。