[論文レビュー] A Tutorial and Open Source Software for the Efficient Evaluation of Gravity and Magnetic Kernels

Jarom D. Hogue, Rosemary A. Renaut+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 15, 2019

Geophysical and Geoelectrical Methods参考文献 16被引用数 29

ひとこと要約

本論文は、変動するパディングを伴う大規模3次元ボリュームにおいて、特に効率的な2次元高速フーリエ変換（FFT）を用いた重力および磁気の前方モデル化を実現する、オープンソースのMATLABフレームワークを提示する。ブロック・トーペリッツ・トーペリッツ・ブロック（BTTB）感度行列の構造を活用することで、重力（対称）および磁気（非対称）場の両方に対して、完全なカーネル行列を明示的に構築することなく高速な行列・ベクトル積を実現し、特に大規模な3次元ボリュームにおいて顕著な高速化とメモリ使用量の削減を達成する。

ABSTRACT

Fast computation of three-dimensional gravity and magnetic forward models is considered. Measurement data is assumed to be obtained on a uniform grid which is staggered with respect to the discretization of the parameter volume. Then, the resulting kernel sensitivity matrices exhibit block-Toeplitz Toeplitz-block (BTTB) structure. These matrices are symmetric for the gravity problem but non-symmetric for the magnetic problem. In each case, the structure facilitates fast forward computation using two-dimensional fast Fourier transforms. The construction of the kernel matrices and the application of the transform for fast forward multiplication, for each problem, is carefully described. But, for purposes of comparison with the transform approach, the generation of the unique entries that define a given kernel matrix is also explained. It is also demonstrated how the matrices, and hence transforms, are adjusted when padding around the volume domain is introduced. The transform algorithms for fast forward matrix multiplication with the sensitivity matrix and its transpose, without the direct construction of the relevant matrices, are presented. Numerical experiments demonstrate the significant reduction in computation time that is achieved using the transform implementation. Moreover, it becomes feasible, both in terms of reduced memory requirements and computational time, to implement the transform algorithms for large three-dimensional volumes. All presented algorithms, including with variable padding, are coded for optimal memory, storage and computation as an open source MATLAB code which can be adapted for any convolution kernel which generates a BTTB matrix. This work, therefore, provides a general tool for the efficient simulation of gravity and magnetic field data, as well as any formulation which admits a sensitivity matrix with the required structure.

研究の動機と目的

• 3次元重力および磁気場の前方モデル化に、BTTB構造を有する感度行列を用いた効率的でオープンソースの実装を開発すること。
• 既存のFFTベースのBTTB手法を、非対称な磁気カーネルおよびxおよびy方向における任意のパディングを扱えるように拡張すること。
• 大規模なカーネル行列を明示的に構築せずに、行列・ベクトル積およびその転置を計算する最適化されたメモリ効率の良いアルゴリズムを提供すること。
• 高速な前方および転置演算を統合することで、スケーラブルで高パフォーマンスな逆問題ワークフローを可能にすること。

提案手法

• xおよびy方向におけるステアガード均一グリッドから生じる重力および磁気カーネル行列のBTTB構造を活用する。
• 行列・ベクトル積の高速化のために、ブロック巡回行列・巡回行列ブロック（BCCB）埋め込みを用いた2次元FFTを適用する。
• 重力（対称）および磁気（非対称）カーネルの両方に対して、それぞれ別個の対称および非対称BTTBアルゴリズムを適用する。
• 非対称境界拡張を用いてxおよびy方向に可変パディングを実装し、FFTの効率を損なわずに実現する。
• 埋め込みBCCB行列のFFTを用いた前方および転置演算を計算する明示的公式を導出する。
• メモリ使用量の安全確認機能を備えたモジュラーでオープンソースのMATLAB実装を提供し、任意のBTTB構造を生成する畳み込みカーネルへの拡張性を確保する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 重力および磁気カーネル行列のBTTB構造をどのように活用することで、明示的な行列構築なしに前方モデル化を高速化できるか？
• RQ2 大規模3次元モデルにおいて、BCCB埋め込みBTTB行列に対する2次元FFTの使用が、直接計算と比較してどの程度の性能向上を達成するか？
• RQ3 計算効率および数値的安定性を維持しながら、BTTB-FFTフレームワークにドメインパディングをどのように統合できるか？
• RQ4 FFTベースのアプローチを用いた行列・ベクトル積およびその転置の計算における、直接法と比較した計算およびメモリの節約効果は何か？
• RQ5 重力および磁気場を超える、畳み込み型カーネル（例：重力や磁気以外の分野）に対しても、同様のフレームワークをどの程度一般化できるか？

主な発見

• FFTベースのBTTB手法は、特に大規模3次元モデルにおいて、直接行列乗算と比較して計算時間を数桁以上短縮する。
• 大規模なカーネル行列を明示的に構築しないため、大きなメモリ節約が達成され、大規模モデリングが現実可能になる。
• xおよびy方向への非対称パディングの導入が、FFT効率を損なわずにサポートされており、ドメイン離散化の柔軟性が向上する。
• 非対称磁気カーネル用のアルゴリズムは、対称重力ケースと比較して僅かにメモリおよび計算量が増加するが、成功裏に実装されている。
• 数値実験により、パディングを含んでも、重力および磁気両ケースにおいて前方および転置演算の相対平均誤差が1e-10未満に保たれていることが確認された。
• オープンソースのMATLABコードはプロダクション環境で使用可能であり、メモリ使用量の安全確認機能を内蔵し、他のBTTB生成カーネルへの容易な適応が可能なモジュラー設計である。