[論文レビュー] A twistor sphere of generalized Kahler potentials on hyperkahler manifolds

Malte Dyckmanns|arXiv (Cornell University)|Nov 16, 2011

Geometry and complex manifolds参考文献 26被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、双曲ケーラー多様体のツイスター空間構造を用いて、一般化されたケーラー・ポテンシャルの $S^2$-族を計算する一般的手法を開発する。ツイスター球面上の正則ダーブル座標を介して、極域スーパーフィールドと半二重スーパーフィールドを関連させることで、ユークリッド空間およびエグッチ・ハンソン幾何の明示的ポテンシャルを導出し、$T^*\mathbb{C}P^n$ へ一般化する。これにより、一般化されたケーラー幾何を用いた双曲ケーラー計量の新たな幾何的枠組みが得られる。

ABSTRACT

We consider the generalized Kahler structures (g,J_+,J_-) that arise on a hyperkahler manifold (M,g,I,J,K) when we choose J_+ and J_- from the twistor space of M. We find a relation between semichiral and arctic superfields which can be used to determine the generalized Kahler potential for hyperkahler manifolds whose description in projective superspace is fully understood. We use this relation to determine an S^2-family of generalized Kahler potentials for Euclidean space and for the Eguchi-Hanson geometry. Cotangent bundles of Hermitian symmetric spaces constitute a class of hyperkahler manifolds where our method can be applied immediately since the necessary results from projective superspace are already available. As a non-trivial higher-dimensional example, we determine the generalized potential for T*CP^n, which generalizes the Eguchi-Hanson result.

研究の動機と目的

• 双曲ケーラー多様体のツイスター空間構造を用いて、一般化されたケーラー・ポテンシャルを体系的に計算する方法を開発すること。
• 一般化されたケーラー幾何の文脈において、極域スーパーフィールドと半二重スーパーフィールドの関係を確立すること。
• ユークリッド空間およびエグッチ・ハンソン幾何の主要な例に対して、明示的な一般化されたケーラー・ポテンシャルを計算すること。
• 既知の射影的超空間の結果を活用して、特に $T^*\mathbb{C}P^n$ を含む高次元の双曲ケーラー多様体へのポテンシャル構成を一般化すること。
• 双曲ケーラー多様体上の全 $S^2 \times S^2$-族の一般化された複素構造に対して枠組みを拡張すること。

提案手法

• 双曲ケーラー多様体のツイスター空間を用い、複素構造を複素座標 $\zeta$ でパrameter化することで、ツイスター直線上に正則シンプレクティック構造を実現する。
• ツイスター球面上に正則ダーブル座標 $\Upsilon(\zeta), \tilde{\Upsilon}(\zeta)$ を導入し、これは $\mathcal{N}=(4,4)$ シグマモデルにおける極域スーパーフィールドに対応する。
• 正則ダーブル座標 $\Upsilon, \tilde{\Upsilon}$ を $\mathcal{N}=(2,2)$ 成分に分解することで、$J_+$ および $J_-$ のための正則座標 $x_L, y_L$ と $x_R, y_R$ を得る。
• ポアソン反テンソル $\sigma = [J_+, J_-]g^{-1}$ を用いて、$(x_L, y_L)$ と $(x_R, y_R)$ 間のシンプレクティック同型写像の生成関数として一般化されたケーラー・ポテンシャル $P$ を導出する。
• ユークリッド空間およびエグッチ・ハンソン幾何の特定のケースにおいて、既知のスーパーフィールド解を活用して、$\Upsilon, \tilde{\Upsilon}$ の偏微分方程式を解く。
• ツイスター球面上での $J_+$ と $J_-$ の独立な変動を許容することで、全 $S^2 \times S^2$-族の一般化されたケーラー構造へ拡張し、ユークリッド空間に対して明示的なポテンシャル式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ツイスター幾何を用いて、双曲ケーラー多様体の一般化されたケーラー・ポテンシャルを体系的に構成する方法は何か？
• RQ2 一般化されたケーラー幾何の文脈において、極域スーパーフィールドと半二重スーパーフィールドの正確な関係は何か？
• RQ3 このツイスターに基づく方法を用いて、ユークリッド空間およびエグッチ・ハンソン幾何に対して得られる明示的な一般化されたケーラー・ポテンシャルは何か？
• RQ4 この方法は、$T^*\mathbb{C}P^n$ のような高次元の双曲ケーラー多様体へ一般化可能か？
• RQ5 双曲ケーラー多様体上の全 $S^2 \times S^2$-族の一般化された複素構造に対して、一般化されたケーラー・ポテンシャルの形は何か？

主な発見

• 本稿では、ツイスター球面および正則ダーブル座標を用いて、ユークリッド空間の明示的 $S^2$-族の一般化されたケーラー・ポテンシャルを導出する。
• エグッチ・ハンソン幾何に対しては、ツイスターパラメータ $\zeta$ の関数として、ツイスター球面上のすべての複素構造に対して有効な閉形式の一般化されたポテンシャルが得られる。
• $T^*\mathbb{C}P^n$ の一般化されたポテンシャルは明示的に計算され、エグッチ・ハンソンの結果を高次元のヘルミート対称空間へ一般化する。
• 著者らは、二つの複素パラメータ $\zeta_+$ と $\zeta_-$ に依存する明示的なポテンシャル式を用いて、双曲ケーラー多様体上に全 $S^2 \times S^2$-族の一般化されたケーラー構造を構成する。
• ユークリッド空間の場合、一般化されたケーラー・ポテンシャルは $x_L, \bar{x}_L, x_R, \bar{x}_R$, $\zeta_+$, $\zeta_-$ における有理関数として与えられ、複素構造間の角度 $\theta$ に明確な依存関係を示す。
• この方法により、一般化されたケーラー・ポテンシャルが、通常のケーラー・ポテンシャルとは異なる非自明な方法で双曲ケーラー計量を再構成可能であることが確認され、特に射影的超空間のデータが利用可能である場合に特に有効である。