[論文レビュー] A two-dimensional high-order well-balanced scheme for the shallow water equations with topography and Manning friction

Victor Michel-Dansac, Christophe Berthon+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 9, 2020

Computational Fluid Dynamics and Aerodynamics参考文献 77被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、水深とマンニン摩擦を伴う浅水域方程式に対して、2次元の高次 well-balanced 有限体積スキームを提示する。高次多項式再構成と well-balanced 1次スキームを、定常状態検出器によって制御される凸結合により組み合わせる。この手法は滑らかな領域で高次精度を維持するとともに、移動定常状態を正確に保存し、MOOD 手順によりロバスト性を確保する。実海底データ上での2011年日本 tsunami の正確なシミュレーションにより検証された。

ABSTRACT

We develop a two-dimensional high-order numerical scheme that exactly preserves and captures the moving steady states of the shallow water equations with topography or Manning friction. The high-order accuracy relies on a suitable polynomial reconstruction, while the well-balancedness property is based on the first-order scheme from Michel-Dansac et. al., 2016 and Michel-Dansac et. al., 2017, extended to two space dimensions. To get both properties, we use a convex combination between the high-order scheme and the first-order well-balanced scheme. By adequately choosing the convex combination parameter following a very simple steady state detector, we ensure that the resulting scheme is both high-order accurate and well-balanced. The method is then supplemented with a MOOD procedure to eliminate the spurious oscillations coming from the high-order polynomial reconstruction and to guarantee the physical admissibility of the solution. Numerical experiments show that the scheme indeed possesses the claimed properties. The simulation of the 2011 Japan tsunami, on real data, further confirms the relevance of this technique.

研究の動機と目的

• 地形とマンニン摩擦を伴う2次元浅水域流れにおける移動定常状態を正確に保存する高次数値スキームの開発。
• 滑らかな領域での高次精度を達成しつつ、非自明な定常状態（特に摩擦を含むもの）に対しても well-balanced であることを維持すること。
• 不適切な振動や水深の非負性を損なうのを防ぐことで、数値的ロバスト性を確保すること。
• 実世界のデータ、特に2011年日本 tsunami を用いた検証を通じて、複雑な地形上でも精度と安定性を示すこと。

提案手法

• 定常状態検出器によって制御される、高次再構成と1次 well-balanced スキームとの凸結合を用いる。
• 滑らかな領域で2次および3次精度を達成するため、高次多項式再構成を採用する。
• 高次再構成に起因する不適切な振動を検出し、除去するために MOOD（多次元最適次数検出）手順を適用する。
• 地形およびマンニン摩擦の源項を正確に扱うガドヌーフ型有限体積フレームワークを採用し、well-balanced フレームワークに統合する。
• 局所的な流れ状態に応じて、高次モードと well-balanced モードの切り替えを可能にする、新規の定常状態検出器を導入する。
• Rusanov 型数値フラックスと源項のバランスをとる有限体積離散化を実装し、well-balanced 性を維持する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 地形およびマンニン摩擦を伴う2次元浅水域流れにおいて、移動定常状態を正確に保存する高次有限体積スキームを設計可能か？
• RQ2 非自明な定常状態（摩擦を含むものも含む）に対しても well-balanced であることを保ちつつ、滑らかな領域で高次精度を維持する方法は何か？
• RQ3 高次再構成が数値的振動に与える影響は何か？ そして、精度やロバスト性を損なわずにその影響を制御する方法は何か？
• RQ4 本スキームは、2011年日本 tsunami のような極端な地形勾配を持つ実海底データ上でも、性能を発揮するか？
• RQ5 高次スキームの計算コストは、実用的な tsunami シミュレーションにおける精度の向上を補って十分に正当化されるか？

主な発見

• 2次 well-balanced スキーム（PWB1）は、1次スキーム（P0）と同等の結果を示したが、数値拡산が著しく低減され、波の構造の解像度が向上した。
• 3次 well-balanced スキーム（PWB3）は、極端な地形勾配に起因する過剰な MOOD スターティングにより、期待される精度を達成できず、1次スキームと同様の解が得られた。
• PWB1 スキームは正しい tsunami 伝播時間を捉えており、不適切な振動も発生せず、有効な well-balanced 性とロバスト性を示した。
• P0 および PWB1 スキームともに物理的センサー測定データとよく一致しており、特に波の到達時刻と振幅の近似において、PWB1 が P0 よりも優れた性能を示した。
• 約1300万セルの実海底データ上でのシミュレーションでは、スキームが大きな地形勾配（特に Kuril 沢部付近）を適切に処理した。
• PWB1 の計算コストは P0 より約2.5倍高く、PWB3 は約10倍も高かった。複雑なメッシュ上では、精度と効率のトレードオフが顕著に現れた。