[論文レビュー] A two-phase method for control constrained elliptic optimal control problem

Xiaoliang Song, Yu Bo|arXiv (Cornell University)|Oct 2, 2016

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、有限要素離散化を用いた制御制約付き楕円型最適制御問題を解くための2段階アルゴリズムを提案する。第1段階では、暖かい初期スティックを生成するために不正確な重み付きADMM（iwADMM）を採用し、第2段階では、超線形収束を達成するためのプライマル・デュアル・アクティブセット法（PDAS）を適用する。このフレームワークは、グローバル収束性と非エルゴード的反復複雑性を保証しており、数値結果により精度と効率性が確認されている。

ABSTRACT

We in this paper consider linear-quadratic elliptic control problems with pointwise box constraints on the control. Since solving the solutions of such PDE-constrained optimization problems are usually a major computation task, thus applying semismooth Newton methods used to be a priority in consideration of their locally superlinear convergence. However, solving the Newton equation is expensive, especially when the discretization is in a fine level. Motivated by the success of applying alternating direction method of multipliers (ADMM) for solving large scale convex minimization problem in finite dimension, it is reasonable to combine semismooth Newton methods with ADMM to solve optimal control problems. To numerically solve elliptic optimal control problems, the finite element (FE) method is used for discretizing the problem. Then, a two-phase method is proposed for the discretized problem. In Phase-I, based on a weighted-augmented Lagrangian function, an inexact weighted-ADMM (iwADMM) algorithm is developed to get a reasonably good initial point to be a warm-start of Phase-II. In Phase-II, a special semismooth Newton method named primal-dual active set (PDAS) is used to efficiently obtain accurate solutions. Furthermore, theoretical results on the global convergence as well as the iteration complexity results in non-ergodic sense of iwADMM are given under suitable conditions. The efficiency of our proposed algorithm is verified by two numerical experiments. The numerical results not only confirm the error estimates for FE but also show that our two-phase framework is efficient for obtaining accurate solutions.

研究の動機と目的

• 点制限付きの制御制約付き楕円型最適制御問題を、大規模かつ計算的に困難な状況で解く課題に対処すること。
• ADMMのグローバル収束性と半スムーズニュートン法の高速局所収束性を組み合わせることで、効率性を向上させること。
• 第1段階で得られる良好な初期推定値を活用し、第2段階での収束を加速する2段階戦略を開発すること。
• 不正確な重み付きADMM（iwADMM）の非エルゴード的観点における理論的収束性と反復複雑性の結果を確立すること。
• 有限要素法で離散化された問題に対して、数値実験を通じて本手法の精度と効率性を検証すること。

提案手法

• 連続的な楕円型最適制御問題を大規模な有限次元最適化問題に変換するために、有限要素法（FEM）が用いられる。
• 第1段階では、高品質な初期点を得るために、不正確な重み付き増大ラグランジュ関数を導入し、不正確な重み付きADMM（iwADMM）アルゴリズムを設計する。
• iwADMMアルゴリズムは、精度と計算コストのバランスをとることを目的として設計されており、グローバル収束の保証を得つつ、効率的な反復を可能にする。
• 第2段階では、離散化された問題にプライマル・デュアル・アクティブセット（PDAS）法を適用し、高精度な解への局所的超線形収束を達成する。
• 2段階フレームワークは、第1段階の出力を第2段階の暖かい初期スティックとして使用しており、ニュートン反復回数を顕著に削減する。
• 理論的分析により、適切な条件下でiwADMMのグローバル収束性と非エルゴード的反復複雑性が確立された。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 不正確な重み付きADMM（iwADMM）は、制御制約付き楕円型最適制御問題を解くための暖かい初期スティックを効果的に生成できるか？
• RQ2 ADMMと半スムーズニュートン法を組み合わせることで、大規模なPDE制約付き最適化問題の解法における効率性とロバスト性が向上するか？
• RQ3 提案されたiwADMMアルゴリズムのグローバル収束性と非エルゴード的反復複雑性の性質は何か？
• RQ4 2段階フレームワークは、標準的手法と比較して、精度と計算コストの面でどのように異なるか？
• RQ5 有限要素法による離散化誤差は、提案されたフレームワークにおいて理論的予測とどの程度整合するか？

主な発見

• 提案された2段階手法は、第2段階におけるPDAS法の超線形収束性とiwADMMのグローバル収束性を組み合わせることで、高い精度を達成する。
• 数値実験により、有限要素法の離散化に対する理論的誤差推定が妥当であることが確認され、基礎となるFEMの収束順序が正当化された。
• 第1段階におけるiwADMMの使用は、信頼性が高く計算コストも低い暖かい初期スティックを提供し、第2段階におけるニュートン反復回数を削減する。
• 理論的分析により、適切な仮定の下で、iwADMMアルゴリズムのグローバル収束性と非エルゴード的反復複雑性が確認された。
• 標準的手法と比較して、大規模な制御制約付き楕円型最適制御問題を解く上で、本フレームワークは優れた効率性を示した。
• 数値結果から、2段階手法はロバストでスケーラブルであることが示され、特にニュートン法の解法が高価になる細かいメッシュ分割において顕著な優位性を示した。