[論文レビュー] A two-phase strategy for control constrained elliptic optimal control problems

Xiaoliang Song, Bo Yu|arXiv (Cornell University)|Oct 2, 2016

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 42被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、有限要素離散化を用いた制御制約付き楕円型最適制御問題を解くための二段階戦略を提案する。第1段階では、収束を加速するための非正確な不均一ADMM（ihADMM）を用い、双対重み付き部分問題を採用して中程度の精度まで収束させる。第2段階では、プライマル・デュアル・アクティブセット（PDAS）法を用いて局所的超線形収束を達成し、解を精緻化する。本手法はグローバル収束性と o(1/k) の反復複雑度を達成しており、細かいメッシュ上でも高い効率性とロバスト性を確認する数値結果が得られている。

ABSTRACT

Elliptic optimal control problems with pointwise box constraints on the control (EOCP) are considered. To solve EOCP, the primal-dual active set (PDAS) method, which is a special semismooth Newton (SSN) method, used to be a priority in consideration of their locally superlinear convergence. However, in general solving the Newton equations is expensive, especially when the discretization is in a fine level. Motivated by the success of applying alternating direction method of multipliers (ADMM) for solving large scale convex minimization problem in finite dimension, it is reasonable to extend the ADMM to solve EOCP. To numerically solve EOCP, the finite element (FE) method is used for discretization. Then, a two-phase strategy is presented to solve discretized problems. In Phase-I, an inexact heterogeneous ADMM (ihADMM) is proposed with the aim of solving discretized problems to moderate accuracy or using it to generate a reasonably good initial point to warm-start Phase-II. Different from the classical ADMM, our ihADMM adopts two different weighted inner product to define the augmented Lagrangian function in two subproblems, respectively. Benefiting from such different weighted techniques, two subproblems of ihADMM can be efficiently implemented. Furthermore, theoretical results on the global convergence as well as the iteration complexity results $o(1/k)$ for ihADMM are given. In Phase-II, in order to obtain more accurate solution, the primal-dual active set (PDAS) method is used as a postprocessor of the ihADMM. Numerical results show that the ihADMM and the two-phase strategy are highly efficient.

研究の動機と目的

• 従来の半スムーズニュートン法では高コストとなる大規模な制御制約付き楕円型最適制御問題（EOCP）を解く際の計算コストの低減を目的とする。
• 細かいグリッド上での高価なニュートン解法を回避するため、初期解の近似にスケーラブルな一次元法を構築することを目的とする。
• ADMMのグローバル収束性とPDASの局所的超線形収束性を組み合わせ、高精度な解を得ることを目的とする。
• 新規の非正確な不均一ADMMの変種（ihADMM）に対して、理論的収束性と反復複雑度を確立することを目的とする。
• EOCPの数値的解法において、効率性と精度のバランスを取った実用的な二段階アルゴリズムを提供することを目的とする。

提案手法

• EOCPを有限要素法（FEM）で離散化し、大規模な凸最適化問題を得る。
• 第1段階として、増大ラグランジュに二種類の重み付き内積を用いる非正確な不均一ADMM（ihADMM）を提案し、部分問題を分離・効率的に解けるようにする。
• 収束性を損なわずに部分問題の精度を制御可能な実装可能な非正確性基準を導入する。
• 標準仮定の下で、ihADMMのグローバル収束性と非エルゴード的反復複雑度 o(1/k) を確立する。
• 第2段階として、ihADMMの解を精緻化するため、PDAS法を後処理として用いる。PDAS法は局所的超線形収束を活用する。
• 両段階を統合した二段階アルゴリズムを構築：ihADMMで高速な初期近似を達成し、PDASで高精度な最終解を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 制御制約付きの大規模離散化EOCPを効率的に解くために、非正確な不均一ADMMを設計可能か？
• RQ2 提案されたihADMMは非エルゴード的意味でグローバル収束性と o(1/k) の反復複雑度を達成するか？
• RQ3 ihADMMとPDASの組み合わせにより、EOCPの解法において計算効率と高精度の両立が可能か？
• RQ4 ADMMの部分問題において異なる重み付き内積を用いることで、アルゴリズムの効率性と収束性にどのような影響を与えるか？
• RQ5 PDASのためのウォームスタートとしてihADMMを用いることで、全体の反復回数がどの程度削減されるか？

主な発見

• 提案された非正確な不均一ADMM（ihADMM）は、非エルゴード的意味でグローバル収束性と o(1/k) の反復複雑度を達成する。
• ADMMの部分問題において二種類の異なる重み付き内積を用いることで、部分問題の効率的かつ分離可能な解法が可能となり、計算効率が顕著に向上する。
• ihADMMに続くPDASによる二段階戦略は、高い数値的効率を示しており、PDASがihADMMの反復から速やかに解を精緻化することが確認された。
• 標準的なニュートン法が計算コストが高くなりすぎる細かい離散化に対しても、本アルゴリズムはロバストな性能を維持する。
• 数値実験により、二段階手法は単独で使用するいずれの手法よりも、解の精度と計算コストの両面で優れていることが確認された。
• 実装可能な非正確性基準により、部分問題の精度が制御可能かつ計算的に実行可能であり、収束性の劣化なしに運用可能である。