[論文レビュー] A unified approach to exact solutions of time-dependent Lie-algebraic quantum systems

Jian Qi Shen, Hong Yi Zhu+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 12, 2003

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics被引用数 13

ひとこと要約

本稿では、レヴィス＝ライゼンフェルト不変量理論および関連するユニタリ変換を用いて、3生成子のリー代数的ハミルトニアンをもつ時間に依存する量子系の正確な解を統一的枠組みで提示する。時間発展作用素と幾何的位相を明示的に導出し、断熱的でなく、循環的でもない場合にも拡張可能であり、準代数的構造を持たない系に対しても、保存不変量の部分ヒルベルト空間に制限することで正確な解が得られることを示している。

ABSTRACT

By using the Lewis-Riesenfeld theory and the invariant-related unitary transformation formulation, the exact solutions of the {\it time-dependent} Schrödinger equations which govern the various Lie-algebraic quantum systems in atomic physics, quantum optics, nuclear physics and laser physics are obtained. It is shown that the {\it explicit} solutions may also be obtained by working in a sub-Hilbert-space corresponding to a particular eigenvalue of the conserved generator ({\it i. e.}, the {\it time-independent} invariant) for some quantum systems without quasi-algebraic structures. The global and topological properties of geometric phases and their adiabatic limit in time-dependent quantum systems/models are briefly discussed.

研究の動機と目的

• 3生成子のリー代数的ハミルトニアンをもつ量子系における時間に依存するシュレーディンガー方程式を解くための統一的手法を開発すること。
• レヴィス＝ライゼンフェルト不変量理論およびユニタリ変換の定式化を、原子・光学・核物理学の分野にわたる時間に依存する系へと拡張すること。
• 準代数的構造を持たない系に対しても、保存不変量の部分ヒルベルト空間に制限することで正確な解が得られることを示すこと。
• 時間発展作用素と幾何的位相の明示的表現、特に非断熱的および非循環的状況を含めたものを提供すること。
• 量子光学およびレーザー物理学におけるSU(2)、SU(3)、および他のリー代数的構造に一般に適用可能な枠組みを確立すること。

提案手法

• 時間に依存するハミルトニアンに関連する時間に依存しない不変量を特定するために、レヴィス＝ライゼンフェルト不変量理論を用いる。
• 不変量に関連するユニタリ変換を適用し、時間に依存しない不変量に写像することで、明示的な解の構成を可能にする。
• 不変量の固有状態を用いてシュレーディンガー方程式を解ける形に変換し、時間発展作用素を閉形式で構成する。
• 完全な系に準代数的構造がなくても、保存生成子の特定固有値に対応する部分ヒルベルト空間内で作業する。
• 時間順序付き発展演算子を用いて幾何的位相を導出し、その閉じる性質および位相的性質を示す。
• 具体的なモデルにこの形式的枠組みを適用する：スピン系、2つの結合した調和振動子、ジェインズ＝カミングス模型、および多光子遷移。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 3生成子のリー代数的量子系すべてに対して、時間に依存するシュレーディンガー方程式を解くための統一的手法を開発可能か？
• RQ2 保存不変量を用いて、準代数的構造を持たない時間に依存する系に対し、正確な解をどのように得られるか？
• RQ3 不変量に関連するユニタリ変換が、形式的時系列積の代わりに明示的な時間発展作用素を導出する際に果たす役割は何か？
• RQ4 この形式的枠組みから、時間に依存する系における幾何的位相（断熱的および非断熱的）はどのように生じるか？
• RQ5 このアプローチは、3つ以上の生成子をもつ系や、異なるリー代数へと一般化可能か？

主な発見

• 時間に依存するリー代数的系の時間発展作用素は、時間に依存しない不変量に基づくユニタリ変換を用いて、明示的・閉形式で導出される。
• 時間に依存する系における幾何的位相は、非断熱的および非循環的領域でも得られ、ベリー位相が特別な場合として包含される。
• 準代数的構造を持たない系に対しても、保存生成子の部分ヒルベルト空間に制限することで正確な解が得られる。
• 時間に依存する超対称的多光子ジェインズ＝カミングス模型は、不変量 $N'$ に関連する部分ヒルベルト空間で、この方法により正しく解かれる。
• この形式的枠組みは、SU(2)、SU(3)、および他のリー代数に一貫して適用可能であり、量子光学・原子物理学・核物理学の系をカバーする。
• このアプローチにより、形式的時系列積の代わりに、動的位相および幾何的位相の両方について物理的に直感的で、解析的に取り扱いやすい表現が得られる。