[論文レビュー] A unified approach to Fiedler-like pencils via strong block minimal bases pencils

Maribel Bueno Cachadina, Froilán M. Dopico+3 more|arXiv (Cornell University)|Nov 22, 2016

Matrix Theory and Algorithms参考文献 33被引用数 10

ひとこと要約

この論文は、行列多項式固有値問題を解くために用いられるFiedler型ペンシルを、強力なブロック最小基底ペンシルの枠組み内に統合する。拡張ブロッククラメルペンシルを導入し、非正規の一般化Fiedlerペンシルを除くすべてのFiedler型ペンシルが、行および列の置換に関してこれらと同値であることを証明することで、理論を単純化し、将来の後退誤差解析および条件数解析を可能にする。

ABSTRACT

The standard way of solving the polynomial eigenvalue problem associated with a matrix polynomial is to embed the matrix polynomial into a matrix pencil, transforming the problem into an equivalent generalized eigenvalue problem. Such pencils are known as linearizations. Many of the families of linearizations for matrix polynomials available in the literature are extensions of the so-called family of Fiedler pencils. These families are known as generalized Fiedler pencils, Fiedler pencils with repetition and generalized Fiedler pencils with repetition, or Fiedler-like pencils for simplicity. The goal of this work is to unify the Fiedler-like pencils approach with the more recent one based on strong block minimal bases pencils introduced in \cite{canonical}. To this end, we introduce a family of pencils that we have named extended block Kronecker pencils, whose members are, under some generic nonsingularity conditions, strong block minimal bases pencils, and show that, with the exception of the non proper generalized Fiedler pencils, all Fiedler-like pencils belong to this family modulo permutations. As a consequence of this result, we obtain a much simpler theory for Fiedler-like pencils than the one available so far. Moreover, we expect this unification to allow for further developments in the theory of Fiedler-like pencils such as global or local backward error analyses and eigenvalue conditioning analyses of polynomial eigenvalue problems solved via Fiedler-like linearizations.

研究の動機と目的

• Fiedler型ペンシルの多様な族（Fiedler、一般化Fiedler、繰り返し付きFiedler、一般化Fiedler繰り返し付き）を、一つの理論的枠組みに統合すること。
• Fiedler型ペンシルと最近の強力なブロック最小基底ペンシル（特にブロッククラメルペンシル）との間のギャップを埋めること。
• Fiedler型ペンシルの本質的構造を捉える、拡張ブロッククラメルペンシルと呼ばれる一般化されたペンシル族を導入すること。
• 一般に正則性が保たれる条件下で、Fiedler型ペンシルが置換を除き強力な線形化および最小基底ペンシルであることを確立すること。
• Fiedler型線形化を用いて解かれる多項式固有値問題における、将来の後退誤差および固有値条件数解析の基盤を築くこと。

提案手法

• 構造化されたブロック行列と基本行列操作を用いて定義される、ブロッククラメルペンシルの一般化として、拡張ブロッククラメルペンシル族を導入する。
• 置換同値性を用いて、Fiedler型ペンシルが行および列の置換を介して拡張ブロッククラメルペンシルに変換可能であることを示し、構造的および数値的性質を保持することを保証する。
• 強力なブロック最小基底ペンシルの理論を適用し、一般に正則性が保たれる条件下で、拡張ブロッククラメルペンシルが強力な線形化であることを証明する。
• 基本行列を用いた因子分解を通じて、Fiedler型ペンシルの構造を特徴づけ、その性質を体系的に分析可能にする。
• 最小基底のブロック構造と双対性を活用し、Fiedler型ペンシルが強力な線形化であり、最小インデックスを保存する条件を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべてのFiedler型ペンシルは、強力なブロック最小基底枠組みに埋め込まれるか。もしそうならば、どのような条件下でか？
• RQ2 Fiedler型ペンシルと拡張ブロッククラメルペンシル族との関係は何か。特に、置換同値性の観点からどうか？
• RQ3 一般に正則性が保たれる条件下で、Fiedler型ペンシルは元の行列多項式の最小基底および最小インデックス構造を保存するか？
• RQ4 拡張ブロッククラメルペンシル族は、ブロッククラメルペンシル族をどのように一般化し、望ましい数値的性質を保持するか？
• RQ5 この統合は、多項式固有値問題における後退誤差および条件数解析にどのような意味を持つのか？

主な発見

• 非正規の一般化Fiedlerペンシルを除き、すべてのFiedler型ペンシルは、行および列の置換に関して拡張ブロッククラメルペンシルと同値である。
• 先頭および末尾の係数について一般に正則性が保たれる条件下で、Fiedler型ペンシルは元の行列多項式の強力な線形化である。
• 拡張ブロッククラメルペンシル族は、ブロッククラメルペンシル族を一般化しており、非正規の一般化Fiedlerペンシルを除くすべてのFiedler型ペンシルを含む。
• 置換を除き、同じ一般に正則性が保たれる条件下で、Fiedler型ペンシルは最小基底ペンシルである。
• 統合により、Fiedler型ペンシルの理論的分析が単純化され、将来の後退誤差および条件数研究のための統一された枠組みが提供される。