[論文レビュー] A Unified Approach to Systemic Risk Measures via Acceptance Sets

Francesca Biagini, Jean‐Pierre Fouque+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 21, 2015

Risk and Portfolio Optimization参考文献 16被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、多次元受容集合と集約関数を用いた包括的フレームワークを導入し、集約の前後における柔軟な資本配分を可能にする、システミックリスクの測定の統一的枠組みを提示する。ラグランジュ最適化を用いて最適なシステミックリスク測度とシナリオ依存の資本配分を導出し、所定の条件下で凸性および準凸性が成立することを示す主な結果を得た。

ABSTRACT

The financial crisis has dramatically demonstrated that the traditional approach to apply univariate monetary risk measures to single institutions does not capture sufficiently the perilous systemic risk that is generated by the interconnectedness of the system entities and the corresponding contagion effects. This has brought awareness of the urgent need for novel approaches that capture systemic riskiness. The purpose of this paper is to specify a general methodological framework that is flexible enough to cover a wide range of possibilities to design systemic risk measures via multi-dimensional acceptance sets and aggregation functions, and to study corresponding examples. Existing systemic risk measures can usually be interpreted as the minimal capital needed to secure the system after aggregating individual risks. In contrast, our approach also includes systemic risk measures that can be interpreted as the minimal capital funds that secure the aggregated system by allocating capital to the single institutions before aggregating the individual risks. This allows for a possible ranking of the institutions in terms of systemic riskiness measured by the optimal allocations. Moreover, we also allow for the possibility of allocating the funds according to the future state of the system (random allocation). We provide conditions which ensure monotonicity, convexity, or quasi-convexity properties of our systemic risk measures.

研究の動機と目的

• 金融機関の相互接続性と伝染効果を捉えきれない単変量リスク測度の限界を是正する。
• 受容集合と集約関数を通じて多様なシステミックリスク測度を扱える一般化された方法論的フレームワークを構築する。
• 集約の前後における資本配分を可能とし、システミックリスクへの貢献度に基づいて機関をランク付け可能にする。
• 状態に依存する資本配分を統合し、金融システム内の状況別リスク露出を反映する。
• 単調性、凸性、準凸性といった望ましい性質が保証される条件を確立する。

提案手法

• 将来の利益・損失を表すランダムベクトル $\mathbf{X} = (X^1, \ldots, X^N)$ を用いて金融システムをモデル化する。
• 多次元受容集合と集約関数を用いて、システム全体のリスクを評価するシステミックリスク測度を定義する。
• ラグランジュ乗数を用いた最適化問題を定式化し、必要な資本 $c$ を最小化すると同時に、集約されたポジションがリスク受容基準を満たすようにする。
• ラグランジュ関数の一次条件を用いて、個々の機関への最適配分 $y^k_j$ と総資本 $c$ を導出する。
• ラグランジュ関数 $\phi(c, y^k_j, \lambda)$ を用いて、所定のリスク閾値 $\gamma$ の下での最適資本および配分戦略を解く。
• 偏導関数から得られる方程式系を解き、システミックリスク測度 $\rho(\mathbf{X}) = c^*$ および最適配分の閉形式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 相互機関間の依存関係と伝染効果を考慮したシステミックリスクの測定法は何か？
• RQ2 集約前の資本配分はシステミックリスク評価において果たす役割は何か？また、集約後の測度とはどのように異なるか？
• RQ3 受容集合を用いて導出されるシステミックリスク測度が単調性、凸性、準凸性を示す条件は何か？
• RQ4 シナリオ依存の資本配分は、システミックリスク測定の正確性と感度をどのように向上させるか？
• RQ5 指数的効用に基づく受容基準下での最適資本要件および配分戦略の解析的形は何か？

主な発見

• システミックリスク測度 $\rho(\mathbf{X}) = c^*$ は閉形式で $c^* = -\beta_N \log\left[\frac{\gamma}{\alpha_1 \beta_N d_N}\right]$ として導出され、ここで $\beta_N = \sum_{k=1}^N \frac{1}{\alpha_k}$ かつ $d_N$ は集約ポジションのシナリオ加重指数関数である。
• シナリオ $j$ における機関 $k$ への最適配分 $y^k_j$ は、$\alpha_k$、$X^k(\omega_j)$、およびリスクパラメータの対数項を含む式で明示的に与えられる。
• 最適配分は、受容集合基準に基づき集約されたシステムのリスクを確保するように設計されており、リスクとシナリオ依存性を反映した形で資本が配分される。
• ラグランジュアプローチにより、解がリスク制約 $\mathbb{E}\left[\sum_{i=1}^N \exp(-\alpha_i(X^i + Y^i))\right] = \gamma$ を満たす一貫性のある方程式系が得られる。
• 適切なリスクパラメータおよび受容集合構造の条件下で、システミックリスク測度の凸性が保証される。
• このフレームワークにより、最適配分戦略を通じて機関のシステミックリスクへの貢献度をランク付け可能となり、標的的な規制的措置が可能になる。