[論文レビュー] A unified field theory II: Gravity interacting with a Yang-Mills and Higgs field

Claus Gerhardt|arXiv (Cornell University)|Feb 18, 2016

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 4被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、ホイーラー＝デウィット方程式に代わって、ポisson括弧による平均曲率の時間発展から導かれる波動方程式を用いることで、ゲージ理論およびヒッグス場と結合した重力の正準量子化を提案する。結果として得られる方程式は、$ Q = (0,\infty) \times \mathcal{S}_0 $ というグローバルに因果的である時空において、重力場、ゲージ場、ヒッグス場の相互作用を記述し、コンパクト性および曲率の条件下で質量ギャップを確立する。

ABSTRACT

We quantize the interaction of gravity with a Yang-Mills and Higgs field using canonical quantization. Similar to the approach in a previous paper we discard the Wheeler-DeWitt equation and express the Hamilton constraint by the evolution equation of the mean curvature of the hypersurfaces in the foliation defined by the Hamiltonian setting. Expressing the time derivative of the mean curvature with the help of the Poisson brackets the canonical quantization of this equation leads to a wave equation in $Q=(0,\infty) imes \cal{S}_o$, where $\cal{S}_o$ is one of the Cauchy hypersurfaces in the Hamiltonian setting. The wave equation describes the interaction of an arbitrary Riemannian metric in $\cal{S}_o$ and a given Yang-Mills and Higgs field. If the metric is complete $Q$ is globally hyperbolic. In case $\cal{S}_o$ is compact we also prove a spectral resolution of the wave equation and establish sufficient conditions guaranteeing a mass gap.

研究の動機と目的

• ホイーラー＝デウィット方程式に依存しない、重力場とゲージ理論およびヒッグス場の結合系に対する正準量子化フレームワークの構築。
• 時空の葉状分割における平均曲率の時間発展を用いて、ハミルトニアン制約を再定式化すること。
• グローバルに因果的な時空 $ Q = (0,\infty) \times \mathcal{S}_0 $ において、双曲型波動方程式を導出すること。ここで $ \mathcal{S}_0 $ はコーシー超曲面である。
• 特に $ \mathcal{S}_0 $ がコンパクトである場合に、波動方程式のスペクトル分解における質量ギャップの成立条件を確立すること。
• 波動方程式から導かれる楕円型作用素の固有関数が、積 $ u = wv $ を通じてダークマターおよびダークエネルギーの候補として物理的に解釈可能であるかを検討すること。

提案手法

• ハミルトニアン葉状分割における時空超曲面の平均曲率の時間発展から導かれる波動方程式を、ホイーラー＝デウィット方程式に代えて採用する。
• 時間微分をポアンカーレ括弧を用いて表現し、量子論的領域ではこれを交換子に置き換える。
• 量子化プロセスにおいて関数微分を用い、結果として得られる作用素が、基本空間 $ \mathcal{S}_0 $ 上に作用し、主要部としてラプラシアンを有することを保証する。
• 曲率項、ゲージ理論項、ヒッグス項、および宇宙定数項を含む、$ Q = (0,\infty) \times \mathcal{S}_0 $ 上の二階双曲型波動方程式を導出する。
• 相対的にコンパクトな部分集合 $ \varOmega \Subset \mathcal{S}_0 $ に対して、ソボレフ空間 $ H^{1,2}_0(\varOmega) \cap H^{2,2}(\varOmega) $ におけるスペクトル理論を適用し、スペクトル分解を可能にする。
• コンパクト性の議論および事前推定（例：補題7.5）を用いて、第一固有値に対する正の下界の存在を証明し、質量ギャップを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 量子重力におけるハミルトニアン制約は、ホイーラー＝デウィット方程式に依存せず、平均曲率の時間発展を用いて再定式化可能か？
• RQ2 $ Q = (0,\infty) \times \mathcal{S}_0 $ 上の結果として得られる波動方程式が、適切に定義されたスペクトル分解を有するための条件は何か？
• RQ3 量子化系のスペクトルに非ゼロの質量ギャップを保証する条件は何か？
• RQ4 重力場、ゲージ理論場、ヒッグス場の相互作用が、エネルギースペクトルおよびダークマター／ダークエネルギーの候補に与える影響は何か？
• RQ5 波動方程式から導かれる楕円型作用素の固有関数は、物理的にダークマターまたはダークエネルギーの成分として解釈可能か？

主な発見

• 本稿では、$ Q = (0,\infty) \times \mathcal{S}_0 $ 上に、重力場、ゲージ理論場、ヒッグス場の量子的相互作用を記述する双曲型波動方程式を導出する。ここで中心的役割を果たすのは、平均曲率の時間発展である。
• 波動方程式は明示的に次のように与えられる： $ \frac{1}{32}\frac{n^{2}}{n-1}\ddot{u} - (n-1)t^{2-\frac{4}{n}}\varDelta u - \frac{n}{2}t^{2-\frac{4}{n}}Ru + \alpha_1\frac{n}{8}t^{2-\frac{4}{n}}F_{ij}F^{ij}u + \alpha_2\frac{n}{4}t^{2-\frac{4}{n}}\gamma_{ab}\sigma^{ij}\varPhi^{a}_{i}\varPhi^{b}_{i}u + \alpha_2\frac{n}{2}mt^{2-\frac{4}{n}}V(\varPhi)u + nt^{2}\varLambda u = 0 $。
• もし $ \mathcal{S}_0 $ がコンパクトであり、ヒッグスポテンシャル $ V $ が条件 (7.7) を満たすならば、スペクトル問題の第一固有値 $ \mu_0 $ は正であり、データに依存する下界を有する。これにより質量ギャップが確立される。
• もし $ R \leq 0 $ であり、かつ $ R $ もしくは $ F_{ij}F^{ij} $ が恒等的にゼロでないならば、縮約された作用素 $ -(n-1)\varDelta v - \frac{n}{2}Rv + \alpha_1\frac{n}{8}F_{ij}F^{ij}v $ の最小固有値は正であり、質量ギャップが保証される。
• 楕円型作用素の固有関数 $ v $ はダークマターの候補として提案される。一方、時間依存方程式の解 $ w $ は、積 $ u = wv $ を通じてダークエネルギーと関連づけられる。
• $ \mathcal{S}_0 $ が完備であれば、$ Q $ のグローバルな因果的性質が保証され、$ \mathcal{S}_0 $ のコンパクトおよび相対的にコンパクトな部分集合において、スペクトル分解が有効である。