[論文レビュー] A Unified Framework for Identifiability Analysis in Bilinear Inverse Problems with Applications to Subspace and Sparsity Models

Yanjun Li, Kiryung Lee+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 25, 2015

Image and Signal Denoising Methods参考文献 23被引用数 29

ひとこと要約

本稿は、変換群による一意性を考慮した双線形逆問題（BIPs）における同定可能性の統一的枠組みを提示する。部分空間およびスパarsity制約下での同定可能性の必要十分条件を導出し、ブラインドゲイン・フェーズキャリブレーション（BGPC）への応用を含む。本稿は、初めてとして代数的サンプル複雑度の境界を確立し、変換群を用いて同値類を特徴づける。

ABSTRACT

Bilinear inverse problems (BIPs), the resolution of two vectors given their image under a bilinear mapping, arise in many applications. Without further constraints, BIPs are usually ill-posed. In practice, properties of natural signals are exploited to solve BIPs. For example, subspace constraints or sparsity constraints are imposed to reduce the search space. These approaches have shown some success in practice. However, there are few results on uniqueness in BIPs. For most BIPs, the fundamental question of under what condition the problem admits a unique solution, is yet to be answered. For example, blind gain and phase calibration (BGPC) is a structured bilinear inverse problem, which arises in many applications, including inverse rendering in computational relighting (albedo estimation with unknown lighting), blind phase and gain calibration in sensor array processing, and multichannel blind deconvolution (MBD). It is interesting to study the uniqueness of such problems. In this paper, we define identifiability of a BIP up to a group of transformations. We derive necessary and sufficient conditions for such identifiability, i.e., the conditions under which the solutions can be uniquely determined up to the transformation group. Applying these results to BGPC, we derive sufficient conditions for unique recovery under several scenarios, including subspace, joint sparsity, and sparsity models. For BGPC with joint sparsity or sparsity constraints, we develop a procedure to compute the relevant transformation groups. We also give necessary conditions in the form of tight lower bounds on sample complexities, and demonstrate the tightness of these bounds by numerical experiments. The results for BGPC not only demonstrate the application of the proposed general framework for identifiability analysis, but are also of interest in their own right.

研究の動機と目的

• 双線形逆問題（BIPs）における一意性の根本的未解決問題に取り組む。BIPsはスケーリングやその他のあいまいさのため、通常は不適切に定義されている。
• 解の同値類の定義を可能にする、変換群による同定可能性の形式化。
• 部分空間およびスパarsity制約下でのBIPsにおける同定可能性の必要十分条件の導出。
• 逆レンダリング、センサアレイ処理、マルチチャネルブラインドデコンボリューションで生じる代表的なBIPであるブラインドゲイン・フェーズキャリブレーション（BGPC）へのフレームワークの適用。
• 共同スパarsityおよびスパarsityモデル下でのBGPCにおけるサンプル複雑度のタイトな下界の確立し、数値実験によりそのタイトさを示す。

提案手法

• 変換群による同定可能性の一般的概念を導入し、解は群作用による同値性の下でのみ一意であることを定式化する。
• BIPに付随する変換群を定義し、解空間における群作用を用いて同定可能性の必要十分条件を導出する。
• BGPCにフレームワークを適用し、測定モデルが $ Y = \mathrm{diag}(\lambda) \Phi $ であることを前提とし、$ \lambda $ を未知のゲイン・フェーズベクトル、$ \Phi $ を信号行列とする。
• 共同スパarsityおよびスパarsityモデルに対して、信号のサポート構造に基づき関連する変換群および同値類を計算する手順を開発する。
• インデックス集合のシフトに関する組合せ論的および代数的議論を用いて、測定数（サンプル複雑度）のタイトな下界としての必要条件を導出する。
• グラフ論的および周期性に基づく解析を用いて、同定可能性が失敗する状況を同定し、特に信号列の共同サポートが周期的である場合に注目する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのような条件下で、双線形逆問題が変換群による一意性を有するか？
• RQ2 スパarsityおよび部分空間制約下でのBIPに付随する変換群を、体系的にどのように計算できるか？
• RQ3 共同スパarsityまたはスパarsityモデル下でのBGPCにおける、最もタイトなサンプル複雑度の下界は何か？
• RQ4 信号の共同サポートに周期性が存在する場合、同定可能性がなぜ失敗するのか、そしてその原因を代数的にどのように特徴づけられるか？
• RQ5 提案されたフレームワークは、逆レンダリングやマルチチャネルブラインドデコンボリューションといった実世界のBIPに、保証された一意性を伴って適用可能か？

主な発見

• 本稿は、変換群によるBIPsの同定可能性の必要十分条件を確立し、双線形システムにおける一意性の分析に一般的な理論的基盤を提供する。
• 共同スパarsityまたはスパarsity制約付きBGPCに対して、本稿は初めてとして代数的サンプル複雑度の境界を導出し、数値的検証によりそのタイトさを示している。
• 信号列の共同サポートが周期的である場合、同定可能性は失敗し、その失敗は非ゼロ測度の集合上に発生するため、周期性は顕著な障害である。
• 共同スパarsity信号の変換群は基底の選択に依存し、異なる基底に対してこの群を計算する手順が開発された。
• 共同サポートが連続的かつ非周期的である場合、シフトされたインデックス集合は少なくとも $ n-1 $ 個のインデックスをカバーするため、適切な条件下で同定可能性が保証される。
• フレームワークは、病理的非同定可能なケース（例：ランク不足、周期的サポート）が測度ゼロの集合上に存在することを明らかにした。これは、弱い条件下でも一般に信号は同定可能であることを示唆している。