[論文レビュー] A unified Framework for Robust Modelling of Financial Markets in discrete time

Jan Obłój, Johannes Wiesel|arXiv (Cornell University)|Aug 20, 2018

Stochastic processes and financial applications参考文献 33被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、離散時間におけるロバスト金融モデリングの経路的および準確確率的アプローチの間の同値性を示す統一的枠組みを確立する。弱い技術的条件のもとで、資産価格理論の基本定理とヘッジの上限定理が互いに翻訳可能であることを示しており、長年の二大モデル非依存・ロバストファイナンス文脈の違いを解消する。

ABSTRACT

We unify and establish equivalence between the pathwise and the quasi-sure approaches to robust modelling of financial markets in discrete time. In particular, we prove a Fundamental Theorem of Asset Pricing and a Superhedging Theorem, which encompass the formulations of [Bouchard, B., & Nutz, M. (2015). Arbitrage and duality in nondominated discrete-time models. The Annals of Applied Probability, 25(2), 823-859] and [Burzoni, M., Frittelli, M., Hou, Z., Maggis, M., & Obloj, J. (2019). Pointwise arbitrage pricing theory in discrete time. Mathematics of Operations Research]. In bringing the two streams of literature together, we also examine and relate their many different notions of arbitrage. We also clarify the relation between robust and classical $\mathbb{P}$-specific results. Furthermore, we prove when a superhedging property w.r.t. the set of martingale measures supported on a set of paths $Ω$ may be extended to a pathwise superhedging on $Ω$ without changing the superhedging price.

研究の動機と目的

• 離散時間における経路的および準確確率的という二大支配的アプローチの正式な同値性を確立することで、ロバスト金融モデリングの両アプローチを統一すること。
• 経路的および準確確率的枠組み間における異なるアービタージュの概念の関係を明確化すること。
• 古典的（モデル特異的）結果とロバスト（モデル不確実性あり）結果の間の溝を埋めることで、古典的マルティングル測度がロバストヘッジの上限価格とどのように関係するかを示すこと。
• ある経路集合 Ω 上でのマルティングル測度に基づくヘッジの上限価格が、同一の集合上で経路的ヘッジの上限価格に値を変えずに拡張可能となる条件を示すこと。

提案手法

• 任意の集合族 𝔓 を持つ準確確率的結果が、特定のシナリオ集合 Ω^𝔓 上での対応する経路的結果から導出可能であることを示すメタ構造を導入する。
• 経路的シナリオ集合 Ω から準確確率的測度族 𝔓^Ω への双対写像を構築し、経路的結果が準確確率的結果を示唆することを保証する。
• 解析的測度族から普遍可測な最適マルティングル測度の選択を保証するために、Jankov-von Neumann 選択定理を用いる。
• 上半解析的関数および右微分の理論を用いて、経路的設定における普遍可測なヘッジ戦略を構築する。
• 予測集合および条件付きヘッジの上限価格の概念を用いて、局所的マルティングル測度とグローバルヘッジ戦略を結びつける。
• コンパクト集合 K_n 上での ε-最適性および収束に基づく背理法を用いて、ヘッジの上限価格の同値性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 弱い技術的条件のもとで、準確確率的枠組みにおける資産価格理論の基本定理は、経路的定式化から導出可能か？
• RQ2 ある経路集合 Ω 上でのマルティングル測度に基づくヘッジの上限価格が、同一集合上の経路的ヘッジの上限価格と等しくなる条件は何か？
• RQ3 例えば、準確確率的枠組みにおけるアービタージュなしと経路的枠組みにおけるアービタージュなしといった、異なるアービタージュの概念は、両枠組み間でどのように関係するか？
• RQ4 古典的 P-特異的結果が、ロバストな準確確率的または経路的枠組みにどの程度埋め込めるか？
• RQ5 局所的条件付き期待値を用いて、経路的設定において普遍可測なヘッジ戦略を標準的に構築する方法はあるか？

主な発見

• 弱い技術的仮定のもとで、資産価格理論の基本定理は、経路的および準確確率的両枠組みで等価に成立する。
• ヘッジの上限定理は両枠組みで同値である：経路集合 Ω 上でのマルティングル測度に基づくヘッジの上限価格は、Ω 上での経路的ヘッジの上限価格に等しい。
• Bouchard と Nutz (2015) の主要な技術的条件、積構造仮定（APS）は、経路的アプローチにおけるシナリオ集合の解析的性質から自然に導かれる。
• 経路的設定において、摂動された株式ポジション下でのヘッジの上限価格の右微分の点별極限として、普遍可測なヘッジ戦略が存在する。
• Jankov-von Neumann 選択定理を用いて、最適マルティングル測度族を普遍可測に選択可能である。
• 任意の非正の可測クレーム g ∈ ℰ₀ に対して、ℙ_Q[g] = 0 を満たすマルティングル測度 ℚ が存在する。これは、NA(𝔓) 条件が、関連する測度クラス下で非正クレームに対してゼロコストを意味することを示唆する。