[論文レビュー] A unified framework of SAGE and SONC polynomials and its duality theory

Lukas Katthän, Helen Naumann+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 21, 2019

Mathematical functions and polynomials被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、SAGEおよびSONC多項式を一般化する統一的枠組みとしてS-coneを導入し、スパース多項式最適化における非負性証明の共通構造を提供する。双対錐の射影を用いない特徴付けを確立することで、極値線の新しい正確な記述、単変数非負多項式の近似結果、および単変数の場合におけるSONCのPutinar型Positivstellensatzに対する否定的解答が得られる。

ABSTRACT

We introduce and study a cone which consists of a class of generalized polynomial functions and which provides a common framework for recent non-negativity certificates of polynomials in sparse settings. Specifically, this $\mathcal{S}$-cone generalizes and unifies sums of arithmetic-geometric mean exponentials (SAGE) and sums of non-negative circuit polynomials (SONC). We provide a comprehensive characterization of the dual cone of the $\mathcal{S}$-cone, which even for its specializations provides novel and projection-free descriptions. As applications of this result, we give an exact characterization of the extreme rays of the $\mathcal{S}$-cone and thus also of its specializations, and we provide a subclass of functions for which non-negativity coincides with membership in the $\mathcal{S}$-cone. Moreover, we derive from the duality theory an approximation result of non-negative univariate polynomials and show that a SONC analogue of Putinar's Positivstellensatz does not exist even in the univariate case.

研究の動機と目的

• スパース非負多項式最適化におけるSAGEおよびSONC多項式をS-coneを用いて統一的枠組みに統合すること。
• SAGEおよびSONCの双対に対する先行研究を超えて、S-coneの双対錐に対する包括的かつ射影を用いない特徴付けを提供すること。
• S-coneおよびその特殊化における極値線の新しい正確な特徴付けを導出すること。
• すべての非負単変数多項式がSONC多項式によって近似可能であることを示すこと。
• 単変数の場合ですら、SONC多項式のPutinar型Positivstellensatzが成立しないことを証明すること。

提案手法

• 絶対値単項式および奇数次単項式を用いて、SAGEおよびSONCの錐を一般化するS-cone CS(A, B)を定義する。
• 強いサポート条件を満たす原子的非負構成要素としてAG関数を導入する。
• 削減された回路と射影を用いない不等式を用いてS-coneの双対錐を特徴付ける。
• 双対性理論を用いて、非負関数が非負回路関数の和として表現可能であることを導出する。
• 双対錐における切り詰めとパラメータ制御を用いて、近似用SONC多項式を構築する。
• 双対錐の構造を応用し、単変数の場合におけるSONCのPutinar型Positivstellensatzの非存在を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 SAGEおよびSONC多項式は、非負性証明を保ちつつ、単一の統一的枠組みに埋め込むことができるか？
• RQ2 S-coneの双対錐の正確な構造は何か？ そして、射影を用いずに記述可能か？
• RQ3 S-coneの極値線は、SAGEおよびSONCに対して既知の結果を一般化・改善する特徴付けを有するか？
• RQ4 すべての非負単変数多項式は、SONC多項式によって近似可能か？
• RQ5 単変数設定ですら、SONC多項式のPutinar型Positivstellensatzは存在するか？

主な発見

• S-coneの双対錐は、削減された回路にサポートを持つAG関数を用いた射影を用いない記述を備えており、SAGEおよびSONC錐の先行双対特徴付けを一般化・改善する。
• S-coneに属するすべての多項式は、元のサポートに含まれる非負AG関数の和に、キャンセルフリーな分解をもつ。
• S-coneの極値線は、削減された回路を形成する非負AG関数によって生成されるものにちょうど一致し、SAGEの場合に対しても鋭い特徴付けを提供する。
• 非負単変数多項式は、(x)-adic位相において、構成的かつ任意に精度を高めた近似列を用いてSONC多項式によって任意に良く近似可能であることが示された。
• 単変数の場合ですら、SONCのPutinar型Positivstellensatzは存在せず、以前の多変数構成よりも強力かつ単純な反例が得られた。
• 単体のニュートン多面体をもつ広範な非負AG関数のクラスは、双対S-coneを用いて特徴付けられ、SONCおよびSAGE理論の先行結果を統合・簡略化する。