[論文レビュー] A unified proof of conjectures on cycle lengths in graphs

Jun Gao, Qingyi Huo+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 17, 2019

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 22被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、新しいパスに基づくアプローチを用いて、グラフにおけるサイクル長に関する長年の予想を統一的に証明する。2連結グラフにおいて、2つの頂点間の $k$ 個の許容パス（長さが差が1または2の等差数列に属する）の存在を保証するタイトな最小次数条件を確立することで、サイクル長の $k$ における剰余、連続するサイクル長、および $k$-連結または $k$-彩色数を持つグラフにおけるサイクルの存在に関する最適な結果が得られる。

ABSTRACT

In this paper, we prove a tight minimum degree condition in general graphs for the existence of paths between two given endpoints, whose lengths form a long arithmetic progression with common difference one or two. This allows us to obtain a number of exact and optimal results on cycle lengths in graphs of given minimum degree, connectivity or chromatic number. More precisely, we prove the following statements by a unified approach. (1) Every graph $G$ with minimum degree at least $k+1$ contains cycles of all even lengths modulo $k$; in addition, if $G$ is 2-connected and non-bipartite, then it contains cycles of all lengths modulo $k$. (2) For all $k\geq 3$, every $k$-connected graph contains a cycle of length zero modulo $k$. (3) Every 3-connected non-bipartite graph with minimum degree at least $k+1$ contains $k$ cycles of consecutive lengths. (4) Every graph with chromatic number at least $k+2$ contains $k$ cycles of consecutive lengths. The first statement is a conjecture of Thomassen, the second is a conjecture of Dean, the third is a tight answer to a question of Bondy and Vince, and the fourth is a conjecture of Sudakov and Verstraëte. All of the above results are best possible.

研究の動機と目的

• 複数のサイクル長に関する予想を、1つの統一的枠組みを用いて解決すること。
• 特定の長さパターンを持つサイクルの存在を保証するタイトな最小次数および連結性条件を確立すること。
• $k$-連結グラフが $k$ で割った剰余が0のサイクルを含むこと、および $k$-彩色数を持つグラフが $k$ 個の連続するサイクル長を含むことを証明すること。
• サイクル分布に関する極値グラフ理論における先行研究を改善する最適な結果を提供すること。

提案手法

• 2連結グラフにおいて、2つの頂点間の $k$ 個の許容パス（長さが差が1または2の等差数列に属する）の存在を保証する最小次数条件下でのコア定理を構築する。
• パスの結果をグラフの終端ブロックに適用し、パスと辺を組み合わせてサイクルを形成することで、一般のグラフにおけるサイクル結果を導出する。
• 構造的グラフ理論的手法（例：$K_3$、$K_4^-$、$K_{d,d}^-$ の除外）を用い、サイクル長の不在を仮定した場合の矛盾を導出する。
• $2$-連結ルート付きグラフおよびパス系に関する結果を活用し、$d$ を法とする所望の長さのサイクルを構成する。
• 連結性および偶奇（$d$ が偶数／奇数）に関する帰納法と場合分けを用いて、サイクル存在定理を証明する。
• 部分グラフにおけるサイクル長分布に関する補題（例：girth ≥5 ならば 5 で割った剰余が0のサイクルが存在する（補題5.14））を用いて、矛盾を解消する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 最小次数が $k+1$ 以上の任意のグラフは、連続する長さの $k$ 個のサイクルを含むか？
• RQ2 $k$-連結で非二部グラフである任意のグラフは、$k$ で割った剰余が0のサイクルを含むか？
• RQ3 最小次数が $k+1$ 以上の $3$-連結で非二部グラフである任意のグラフは、$k$ 個の連続するサイクル長を含むか？
• RQ4 彩色数が $k+2$ 以上の任意のグラフは、$k$ 個の連続するサイクル長を含むか？
• RQ5 長さが等差数列をなすサイクルの存在を保証する、最小次数または連結性条件の中で最もタイトな条件は何か？

主な発見

• 最小次数が $k+1$ 以上の任意のグラフは、すべての偶数長のサイクルが $k$ で割った剰余として現れ、さらに $2$-連結で非二部の場合、すべての長さが $k$ で割った剰余として現れる。
• $k \geq 3$ に対して、すべての $k$-連結グラフは $k$ で割った剰余が0のサイクルを含み、これは最良である。
• 最小次数が $k+1$ 以上の $3$-連結で非二部グラフは、$k$ 個の連続するサイクル長を含む。
• 彩色数が $k+2$ 以上の任意のグラフは、$k$ 個の連続するサイクル長を含む。
• 結果は最適である：最小次数および連結性条件は、$K_{k+1}$ や $K_{k,n}$ などの極値構成によって、さらに弱くできないことが示されている。
• 証明技法は、トーマセンの予想（$k$ における偶数サイクル長の剰余）、ディーンの予想（$k$-連結性が $k$ で割った剰余0のサイクルを含むことを示唆）、ボンディ＝ヴィンスの予想（$3$-連結非二部グラフが連続サイクルを含む）、サドコフ＝ヴェルストラエの予想（彩色数が連続サイクルを含むことを示唆）といった複数の予想を統一的に扱っている。