[論文レビュー] A unified, purely affine theory of gravitation and electromagnetism

Nikodem J. Popławski|ArXiv.org|May 2, 2007

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 5被引用数 14

ひとこと要約

本稿は、接続の曲率テンソルを通じて重力と電磁気を幾何学的に定式化することにより、純粋なアフィン理論として重力と電磁気を統一する。対称リッチテンソル $ P_{\mu\nu} $ が重力を表し、第二のリッチテンソル $ Q_{\mu\nu} $ が電磁気を表す。主な結果は、源を持つアインシュタイン方程式とマクスウェル方程式が、単一のアフィンラグランジアンから動的に導かれる点であり、物質ラグランジアンが最も単純な場合、質量が電磁エネルギーに起因する。

ABSTRACT

In the purely affine formulation of gravity, the gravitational field is represented by the symmetric part of the Ricci tensor of the affine connection. The classical electromagnetic field can be represented in this formulation by the second Ricci tensor of the connection. Such a construction is dynamically equivalent to the sourceless Einstein-Maxwell equations. We generalize this construction to the case with sources, represented by the derivative of the affine Lagrangian density with respect to the connection. We show that the Maxwell equations with sources emerge for the simplest affine Lagrangian for matter, while the Einstein and Lorentz equations arise if mass has electromagnetic origin. We also show that the Maxwell equations replace the unphysical constraint imposed by the projective invariance of purely affine Lagrangians that depend explicitly on the connection.

研究の動機と目的

• 純粋なアフィン枠組み内で、事前に計量やゲージ構造を導入することなく、古典的重力と電磁気を統一すること。
• 純粋なアフィンラグランジアンにおける射影不変性が引き起こす物理的でない制約を解消するため、電磁場を幾何的自由度として導入すること。
• 物質ラグランジアンが最小限の形である場合、アインシュタイン方程式とローレンツ方程式が最小アフィン物質ラグランジアンから動的に導かれるのを示すこと。
• 純粋なアフィン重力における源のないアインシュタイン＝マクスウェルの等価性を、物理的源を持つ場合に一般化すること。

提案手法

• 理論は、接続とその曲率テンソル、特に対称リッチテンソル $ P_{\mu\nu} $ と第二のリッチテンソル $ Q_{\mu\nu} $ に依存する純粋なアフィンラグランジアン密度を用いる。
• 計量テンソルは、ラグランジアンを $ P_{\mu\nu} $ で関数的微分することにより代数的に導出され、$ g^{\mu\nu} \propto \partial\mathcal{L}/\partial P_{\mu\nu} $ と表される。これにより幾何的計量構造が保証される。
• 電磁場強度は $ Q_{\mu\nu} $ に符号化され、これは接続のトレースの外微分として定義される：$ Q_{\mu\nu} = \Gamma^{\rho}_{\rho\nu,\mu} - \Gamma^{\rho}_{\rho\mu,\nu} $。
• 物質ラグランジアンは、接続とスカラー電荷密度 $ \rho $ および物質分布の4元速度 $ u^\mu $ の関数として導入され、源項を可能にする。
• 全作用を接続に関して変分することで、アインシュタインテンソルと源付きマクスウェル場の方程式が生成される。
• アフィンラグランジアンの射影不変性は維持されるが、源項が原因となる物理的でない制約は、マクスウェル方程式によって置き換えられる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 計量やゲージ場を事前に導入せずに、純粋なアフィン理論において重力と電磁気を統一できるか？
• RQ2 純粋なアフィン形式において源はどのように動的に出現するのか？また、電磁場は物理的でない制約を除去するために果たす役割は何か？
• RQ3 この枠組みにおける質量の幾何的起源は何か？そして、それが電磁エネルギーに起因することを示せるか？
• RQ4 第二のリッチテンソル $ Q_{\mu\nu} $ を含めることで、射影不変性を保ちつつ物理的源の動的挙動を可能にするのか？
• RQ5 物質がスカラー電荷密度と4元速度を介して最小カーリングされた場合、アインシュタイン方程式とローレンツ方程式は単一のアフィン作用から導けるか？

主な発見

• 接続に関してアフィン作用を変分することで得られる場の方程式から、電磁エネルギー運動量テンソルを伴うアインシュタイン方程式が導かれる。
• 物質ラグランジアンにスカラー電荷密度 $ \rho $ と4元速度 $ u^\mu $ が含まれる場合、源付きマクスウェル方程式が動的に生成され、電流 $ j^\mu \propto \rho u^\mu $ が得られる。
• 有効エネルギー密度 $ \epsilon \propto \rho^2 $ および圧力 $ p \propto \rho^2 u_\sigma u^\sigma $ が導かれ、質量が電荷密度の二乗に比例することから、質量が電磁エネルギーに起因することを示唆する。
• ビアンキ恒等式と場の方程式から、連続体形式のローレンツ力の法則が得られる：$ ((\epsilon + p)u^\mu u^\nu)_{;\nu} - p^{,\mu} = F^{\mu\nu} j_\nu $。これは粒子力学と整合的である。
• 電磁場を表す第二のリッチテンソル $ Q_{\mu\nu} $ は、射影不変性に起因する物理的でない制約を置き換え、ゲージ不変性を保ちつつ物理的源を可能にする。
• 電荷密度がゼロの極限ではローレンツ力が消え、測地線方程式が回復する。これは、電磁場が存在しない場合に一般相対性理論と整合的であることを確認する。