[論文レビュー] A unified quantum theory II: gravity interacting with Yang-Mills and spinor fields

Claus Gerhardt|arXiv (Cornell University)|Jan 25, 2013

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 18被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、正準および第二量子化を用いて重力、ヤン・ミルズ場、スピン場を統一する量子理論を提示する。ホイーラー＝デウィット方程式の解空間をゲージおよび等長変換の対称性に関して不変に構成し、ボソン的およびフェルミオン的領域に対してCCRおよびCAR表現を確立し、一般相対性理論的枠組みにおけるグローバルにハイパーボリックな時空で4つのハイグ・カストラー公理を満たす局所代数のネットを定義する。

ABSTRACT

We quantize the interaction of gravity with Yang-Mills and spinor fields, hence offering a quantum theory incorporating all four fundamental forces of nature. Using canonical quantization we obtain solutions of the Wheeler-DeWitt equation in a vector bundle and the method of second quantization leads to a symplectic vector space $(V,\om)$ and a corresponding CCR representation for the bosonic components and a CAR representation for the fermionic part. The solution space of the Wheeler-DeWitt equation is invariant under gauge transformations and under isometries in the spacelike base space $\so$ of a given Riemannian metric $ρ_{ij}$. We also define a net of local subalgebras which satisfy four of the Haag-Kastler axioms.

研究の動機と目的

• 重力、ヤン・ミルズ場、スピン場を統一する量子理論の構築。
• 従来の量子重力およびヤン・ミルズ相互作用の研究をフェルミオン的（スピン場的）な場を含める形に拡張すること。
• 正準および第二量子化を用いて、完全に相互作用する系の整合的な量子場理論フレームワークを構築すること。
• ホイーラー＝デウィット方程式の解空間がゲージ変換および時空等長変換に関して不変であることを示すこと。
• 一般共変な設定下で、ハイグ・カストラー公理のうち4つを満たす局所観測量のネットを定義すること。

提案手法

• 重力とヤン・ミルズ場およびスピン場の結合系のハミルトニアン形式からホイーラー＝デウィット方程式を正準量子化により導出する。
• 第二量子化を適用して、対称的ベクトル空間 $(V, \omega)$ を構成し、ボソン的成分に対してCCR表現、フェルミオン的成分に対してCAR表現を導く。
• 初期値問題が適切に定義されるように、時空の時間分割構造 $d\bar{s}^2 = -w^2(dx^0)^2 + g_{ij}dx^i dx^j$ を持つグローバルにハイパーボリックな時空を採用する。
• コンパクトな時空領域上のテスト関数 $u$ に対して、Weyl作用素 $e^{i\varPhi_M(u)}$ で生成される局所 $C^*$-代数 $\mathcal{A}_M(\varOmega)$ を定義する。
• 正規双曲型作用素およびグリーン関数の性質を用いて、因果性および原始性の公理を確立する。
• 曲がった時空における局所量子場理論のディモックの枠組みを、完全な重力－ヤン・ミルズ－スピン場系へと拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正準量子化を用いて、重力をヤン・ミルズ場およびスピン場と統一する整合的な量子理論を構築可能か？
• RQ2 この統一的枠組みにおいて、ゲージ対称性および時空等長変換は、ホイーラー＝デウィット方程式の解空間にどのように作用するか？
• RQ3 完全に相互作用する系に対して、局所量子場理論の構造を定義可能か？ その際、重要な代数的公理を満たすか？
• RQ4 量子重力の文脈に物質場を含めた場合、特に因果性、原始性、ネット構造といったハイグ・カストラー公理がどの程度成立するか？
• RQ5 背景独立な量子重力の設定下で、ボソン的およびフェルミオン的自由度を併せ持つ系に対して、第二量子化をどのように適用できるか？

主な発見

• ホイーラー＝デウィット方程式の解空間は、時空的基底多様体 $\mathcal{S}_0$ のゲージ変換および等長変換に関して不変である。
• 第二量子化により、CCR表現がヤン・ミルズ場およびヒッグス場に対して、CAR表現がスピン場に対して得られる対称的ベクトル空間 $(V, \omega)$ が得られる。
• 局所 $C^*$-代数のネット $\mathcal{A}_M(\varOmega)$ が定義され、ハイグ・カストラー公理のうち1番目（ネット構造）、2番目（原始性）、3番目（第一因果性）を満たす。
• 第二因果性（公理4）は、グリーン作用素による因果的伝播のおかげで成立し、$\varOmega$ が $\varOmega'$ に対して因果的依存関係にあるとき、$\mathcal{A}_M(\varOmega) \subset \mathcal{A}_M(\varOmega')$ が成り立つ。
• フェルミオン的領域はボソン的領域と同様に4つの公理を満たし、因果性条件では交換子の代わりに反交換子が用いられる。
• 本フレームワークは、1つのヤン・ミルズ場および1つのスピン場を越えて、追加の独立した場を含めても、構造的変更なしに適用可能である。