[論文レビュー] A Unified Theory of Robust and Distributionally Robust Optimization via the Primal-Worst-Equals-Dual-Best Principle

Jianzhe Zhen, Daniel Kühn+1 more|arXiv (Cornell University)|May 3, 2021

Risk and Portfolio Optimization参考文献 18被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、一般化された「プライマル最悪＝デュアル最良」原理を用いて、ロバスト最適化およびディストリビューションロバスト最適化の統一的凸解析枠組みを提示する。これにより、複雑な問題の有限次元凸再定式化が可能となる。半無限の最悪ケースプライマル問題と非凸の最良ケースデュアル問題の間で強い双対性を確立し、一般の最適輸送のあいまいさ集合を有するディストリビューションロバスト問題に対しても解法が容易になる。

ABSTRACT

Robust and distributionally robust optimization are modeling paradigms for decision-making under uncertainty where the uncertain parameters are only known to reside in an uncertainty set or are governed by any probability distribution from within an ambiguity set, respectively, and a decision is sought that minimizes a cost function under the most adverse outcome of the uncertainty. In this paper, we develop a rigorous and general theory of robust and distributionally robust nonlinear optimization using the language of convex analysis. Our framework is based on a generalized `primal-worst-equals-dual-best' principle that establishes strong duality between a semi-infinite primal worst and a non-convex dual best formulation, both of which admit finite convex reformulations. This principle offers an alternative formulation for robust optimization problems that obviates the need to mobilize the machinery of abstract semi-infinite duality theory to prove strong duality in distributionally robust optimization. We illustrate the modeling power of our approach through convex reformulations for distributionally robust optimization problems whose ambiguity sets are defined through general optimal transport distances, which generalize earlier results for Wasserstein ambiguity sets.

研究の動機と目的

• コン性や構造的問題クラスに依存しない、ロバスト最適化およびディストリビューションロバスト最適化の一般的で凸解析的な理論を構築すること。
• 過去のロバスト最適化の一般化においてしばしば無視される数学的微妙さ、特に双対性や制約条件に関する問題を扱うこと。
• 任意の凸関数およびあいまいさ集合に適用可能な、ロバスト最適化とディストリビューションロバスト最適化を統合する単一の双対性原理を確立すること。
• 抽象的な半無限双対性理論やモーメント条件に依存せずに、強い双対性の確認が容易な条件を提供すること。
• 一般の最適輸送に基づくあいまいさ集合を有するディストリビューションロバスト問題に対して、凸再定式化を可能とすること。これには、サポートの構造的制約や輸送コストに関する制約が含まれる。

提案手法

• 半無限のプライマル最悪ケース問題と非凸のデュアル最良ケース定式化の間で強い双対性を確立する一般化された「プライマル最悪＝デュアル最良」原理を導入する。
• 共役関数と凸解析を用いて、暗黙の制約や共役関数を有する一般の凸最適化問題の明示的デュアル問題を導出する。
• 双対性原理を適用し、ロバスト最適化およびディストリビューションロバスト最適化問題を有限次元凸計画問題に再定式化する。
• 輸送コスト関数の第一部分共役を用いて、最適輸送に基づくあいまいさ集合に対する凸再定式化を導出する。
• 輸送コストの非線形成長が成立する条件下で、不確実性評価問題（OT）の可解性条件を確立する。
• この枠組みにより、特定の輸送コスト関数を設計することで、構造的分布的情報（例えば、低確率領域をペナルティ化する関数や等方的ノイズをモデル化する関数）を組み込むことが可能であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般の凸関数およびあいまいさ集合に適用可能な、ロバスト最適化およびディストリビューションロバスト最適化の統一的双対性原理を確立できるか？
• RQ2 抽象的な半無限双対性理論やモーメント条件に依存せずに、ディストリビューションロバスト最適化における強い双対性をどのように証明できるか？
• RQ3 一般の最適輸送に基づくあいまいさ集合を有するディストリビューションロバスト問題に対して、有限次元凸再定式化が存在するための条件は何か？
• RQ4 輸送コスト関数をどのように設計すれば、サポート制約やノイズモデルなどの構造的分布的情報を符号化できるか？
• RQ5 提案された枠組みは、非線形目的関数・制約関数およびコーン不等式を統合的に扱えるか？

主な発見

• 一般化された「プライマル最悪＝デュアル最良」原理により、半無限のプライマル最悪ケース問題と非凸のデュアル最良ケース定式化の間で強い双対性が確立される。
• プライマル最悪問題およびデュアル最良問題の両方が、有限次元凸再定式化を有し、標準的な凸最適化手法により容易に解ける。
• この枠組みにより、有限次元凸解析を用いた強い双対性の確認が容易な条件が提供され、抽象的なモーメント条件の必要性を回避できる。
• 一般の最適輸送に基づくあいまいさ集合（非線形輸送コストを含むものも含む）を有するディストリビューションロバスト問題について、凸再定式化が導出された。
• アプローチにより、特定の輸送コスト関数を設計することで、構造的分布的情報（例えば、低確率領域をペナルティ化する関数や等方的ノイズをモデル化する関数）を組み込むことが可能である。
• 不確実性評価問題（OT）は、輸送コストが非線形成長を示す条件下で、スレイター点が存在し、デュアル最大化点が予算制約を満たす限り、可解であることが示された。