[論文レビュー] A uniform inf--sup condition with applications to preconditioning

Kent‐André Mardal, Joachim Schöberl+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 6, 2012

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 11被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、ドメインの凸性を仮定せずに、パrameterに依存するストークス問題に対する一様な inf–sup 条件を確立し、変動パrameterやメッシュの細分化にかかわらず一貫性を保つ均一な予め条件化子の構築を可能にする。主な貢献は、2次元におけるテイラー＝フッド要素に対して、新たな $L^2$-有界で発散を交換する射影作用素を、最低次のネデリュック端点要素との関係を介して導出することにある。

ABSTRACT

A uniform inf-sup condition related to a parameter dependent Stokes problem is established. Such conditions are intimately connected to the construction of uniform preconditioners for the problem, i.e., preconditioners which behave uniformly well with respect to variations in the model parameter as well as the discretization parameter. For the present model, similar results have been derived before, but only by utilizing extra regularity ensured by convexity of the domain. The purpose of this paper is to remove this artificial assumption. As a byproduct of our analysis, in the two dimensional case we also construct a new projection operator for the Taylor-Hood element which is uniformly bounded in $L^2$ and commutes with the divergence operator. This construction is based on a tight connection between a subspace of the Taylor-Hood velocity space and the lowest order Nedelec edge element.

研究の動機と目的

• パrameterに依存するストークス問題の均一な予め条件化子を実現するために、従来必要とされてきた人工的な凸性仮定を排除すること。
• パrameter $\epsilon$ とメッシュサイズ $h$ に依存しない、特異摂動問題 (1.1) に対する一様な inf–sup 条件を確立すること。
• 2次元におけるテイラー＝フッド有限要素法に対して、発散作用素と交換し、$L^2$ で有界な一様な射影作用素を構築すること。
• 非凸領域における予め条件化子のロバスト性に対する理論的裏付けを、数値的証拠とともに提供すること。
• ボゴフスキーイ作用素と形状正則な三角形分割を活用することで、一般のリプシッツ領域への均一な予め条件化技術の適用範囲を拡張すること。

提案手法

• 発散作用素の右逆作用素としてボゴフスキーイ作用素を用い、連続的設定における連続性と安定性を確立する。
• テイラー＝フッド要素の速度空間と最低次のネデリュック端点要素との密接な関係を活用して、新たな射影作用素を構築する。
• メッシュサイズや要素形状に依存しない一様な固有値を保証するために、適切に選ばれたパrameter $\gamma$ を用いてマクロ要素上に対称的かつ正定値な行列 $M$ を定義する。
• 形状正則性を用いてパrameter $\gamma$ を上界と下界から抑え、三角形分割内のすべての要素に対して一様性を保証する。
• ゲルシュゴリンの円定理を適用して、行列 $M$ の固有値の下界を証明し、双線形形式の強制性を保証する。
• マクロ要素上の局所的射影と、発散を交換する、$L^2$ で有界な写像 $\tilde{\Phi}_h$ のグローバル構成を組み合わせることで、一様な inf–sup 穩定性を達成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ドメインの凸性を仮定せずに、パrameterに依存するストークス問題に対して一様な inf–sup 条件を確立できるか？
• RQ2 2次元におけるテイラー＝フッド要素に対して、一様に有界で、発散と交換し、$L^2$ で有界な射影作用素を構築することは可能か？
• RQ3 テイラー＝フッド速度空間と最低次のネデリュック端点要素との関係をどのように活用して、このような射影を構築できるか？
• RQ4 ボゴフスキーイ作用素は、連続問題における一様安定性を保証するために果たす役割は何か？
• RQ5 得られた予め条件化子は、非凸領域においても、$\epsilon$ やメッシュの細分化にかかわらず一様な条件数を維持できるか？

主な発見

• 一般のリプシッツ領域上において、パrameterに依存するストークス問題 (1.1) に対して、凸性を仮定せずに一様な inf–sup 条件を確立した。
• 一様な inf–sup 条件により、解作用素が $\epsilon$ と $h$ に一様に有界であることが保証され、均一な予め条件化子の構築が可能になった。
• 2次元において、発散作用素と交換し、$L^2$ で一様に有界な新たな射影作用素をテイラー＝フッド要素に対して構築した。
• この構築は、テイラー＝フッド速度空間と最低次のネデリュック端点要素との精密な関係に依存しており、固有値が $c_1|T|$ 以上に下から抑えられる対称的かつ正定値な行列 $M$ を可能にした。
• 行列 $M$ が対称的かつ正定値であり、固有値が $c_1|T|$ 以上に下から抑えられることを示した。ここで $c_1 = \alpha \min(\gamma, \gamma^{-1})/2$ であり、$\gamma$ は $h$ や要素形状に依存せず有界である。
• グローバルな射影写像 $\tilde{\Phi}_h$ は一様 $L^2$ 穏健性を達成し、$\sup_{z \in Z_h^0} \frac{\langle v, z \rangle}{\|z\|_{L^2}} \geq c_0 \|v\|_{L^2}$ を満たす。これにより、一様な inf–sup 条件が確認された。