[論文レビュー] A uniform open image theorem for l-adic representations in positive characteristic

Emiliano Ambrosi|arXiv (Cornell University)|Nov 16, 2017

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 10被引用数 3

ひとこと要約

本稿は正標数における $\alpha$-adic表現のための一様な開像定理を確立し、幾何的リー完備条件のもとで、局所的像が開でない $k$-有理点の例外的集合が有限であり、かつ $[\Pi : \Pi_x]$ が一様に有界であることを証明する。この結果は、一般化されたモジュラー曲線と $\ell$-adicコホロロジーを用いたリーマン・フルビッツの公式における野生分岐の制御により、Cadoret-Tamagawaの特徴0における結果を正標数へ拡張するものである。

ABSTRACT

Let $k$ be a finitely generated field of characteristic $p > 0$ and $\\ell$ a prime. Let $X$ be a smooth, separated, geometrically connected curve of finite type over $k$ and $\ ho: \\pi_1(X)\ ightarrow GL_r(\\mathbb Z_{\\ell})$ a continuous representation of the \\etale fundamental group of $X$ with image $G$. Any $k$-rational point $x:Spec(k)\ ightarrow X$ induces a local representation $\ ho_x: \\pi_1(Spec(k)) \ ightarrow \\pi_1(X) \ ightarrow GL_r(\\mathbb Z_{\\ell})$ with image $G_x$. The goal of this paper is to study how $G_x$ varies with $x\\in X(k)$. In particular we prove that if $\\ell\ eq p$ and every open subgroup of $\ ho(\\pi_1(X_{\\overline k}))$ has finite abelianization, then the set $X_{\ ho}^{ex}(k)$ of $k$-rational points such that $G_x$ is not open in $G$ is finite and there exists a constant $C\\geq 0$ such that $[G:G_x]\\leq C$ for all $x\\in X(k)-X_{\ ho}^{ex}(k)$. This result can be applied to obtain uniform bounds for the $\\ell$-primary torsion of groups theoretic invariants in one dimensional families of varieties. For example, torsion of abelian varieties and the Galois invariants of the geometric Brauer group. This extends to positive characteristic previous results of Anna Cadoret and Akio Tamagawa in characteristic 0.

研究の動機と目的

• 特徴0におけるCadoret-Tamagawaの一様な開像定理を正標数へ拡張すること。
• 局所ガロア像がグローバル像において開でない $k$-有理点のための指数の有限性および一様有界性を確立すること。
• 正標数における抽象的モジュラー曲線のリーマン・フルビッツ公式における野生分岐項の制御。
• 有理点の有界次数に対する点の数を評価するための道具として、ゴノリティの一般化としてのイソゴノリティを導入すること。

提案手法

• 開部分群 $U \subseteq \Pi$ に付随する、$X_U \to X$ と表される連結エタール被覆を構成し、これを抽象的モジュラー scheme と呼ぶ。
• アナベルリアン辞書を用いて、$k$-有理点が $X_U$ に引き上げられることと $\Pi_x \subseteq U$ が同値であることを関係づけ、ディオファントス的制御を可能にする。
• リーマン・フルビッツの公式を適用して抽象的モジュラー曲線の genus を計算し、正標数における野生分岐項を注意深く取り扱う。
• 文献[CT12a]の技術を一般化して、genus 計算における野生分岐の制御を行う。
• コンパクト化された被覆のゴノリティおよびイソゴノリティの成長を用いて、有界次数の点の数を評価する。
• $\Pi_{\overline{k}}$ のリー完備条件を活用して、指数 $[\Pi : \Pi_x]$ の一様有界性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正標数における $\ell$-adic表現の一様な開像定理を特徴0から拡張することは可能か？
• RQ2 正標数において、局所的像が開でない $k$-有理点の集合が有限であるための条件は何か？
• RQ3 正標数におけるモジュラー曲線構成において、リーマン・フルビッツの公式における野生分岐はどのように制御できるか？
• RQ4 イソゴノリティは、正標数における有界次数の点を評価するための道具としてゴノリティに代わって使用可能か？
• RQ5 幾何的リー完備条件のもとで、$n \to \infty$ のとき $X_{C\Pi_{\overline{k}}(n)}$ のイソゴノリティ $\gamma^{\text{iso}}_{X_{C\Pi_{\overline{k}}(n)}}$ は無限大に発散するか？

主な発見

• $X$ が曲線であり、$k$ が有限生成、$\rho$ が幾何的にリー完備であるとき、例外的集合 $X_{\rho}^{ex}(k)$ は有限である。
• $\rho$ のみに依存する整数 $N \geq 1$ が存在し、すべての $x \in X_{\rho}^{gen}(k)$ に対して $[\Pi : \Pi_x] \leq N$ が成り立つ。
• 抽象的モジュラー曲線 $X_U$ の genus はレベルとともに増大し、これによりディオファントス的有限性に基づく有理点の制御が可能になる。
• リーマン・フルビッツの公式における野生分岐項は、[CT12a] の技術の一般化により制御される。
• イソゴノリティ $\gamma^{\text{iso}}_{X_{C\Pi_{\overline{k}}(n)}}$ は $n \to \infty$ のとき無限大に発散する。これは、有界次数の点へ結果を拡張するための可能性を示唆する。
• この結果は、幾何的ブラウアー群や1次元族におけるアーベル・多様体などの不変量における $\ell$-primary torsion に対する一様な有界性を示唆する。