[論文レビュー] A Uniqueness Theorem for Thermoacoustic Tomography in the Case of Limited Boundary Data

Dustin Steinhauer|ArXiv.org|Feb 17, 2009

Photoacoustic and Ultrasonic Imaging参考文献 11被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、境界の一部での測定データを用いた熱音響トモグラフィー（TAT）における一意性定理を確立し、コンパクトに台を持つ初期エネルギー分布が境界の部分集合における圧力測定値から一意に再構成可能であることを証明する。証明は、影響領域の考察とD. Tataruの一意性拡張定理を組み合わせ、測定領域の幾何的条件を仮定する。

ABSTRACT

We prove a uniqueness theorem for compactly supported initial data for the variable speed wave equation arising in models of thermoacoustic tomography, given measurements on a part of the boundary. The proof is based on domain of dependence arguments and D. Tataru's unique continuation theorem.

研究の動機と目的

• 部分的境界測定値が利用可能な場合の熱音響トモグラフィーにおける一意性を確立すること。
• 定常速度波方程式に関する既存の結果を、限られたデータを伴う可変速度設定へと拡張すること。
• 初期エネルギー分布の一意性を保証する測定領域の幾何的条件を同定すること。
• 全境界被覆が現実的でない実用的TATシステムの理論的基盤を提供すること。

提案手法

• 境界測定値と初期データの影響領域との関係を、影響領域の考察によって関係付ける。
• 境界から内部へと解の消滅を伝搬させるために、D. Tataruの一意性拡張定理を適用する。
• 可変音速 $ c(x) $ によって誘導される測地的距離計量を定義し、波動伝搬の幾何的解析を可能にする。
• 一意性拡張の議論に用いる非特徴的超曲面を構成するために、切り捨て関数 $ \chi $ を用いる。
• 補題3.2の推論を適用し、解の消滅を初期測定シリンダーを超えて拡張する。
• 解がシリンダー $ B(p,\rho) \times [-H,H] $ で消えるならば、$ d(x,z) + |t| \leq H $ で定義されるより大きな領域でも消えることを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 測定領域 $ \Gamma \subset \partial\Omega $ がどのような幾何的条件下にあれば、初期エネルギー分布 $ f(x) $ がTATで一意に再構成可能か？
• RQ2 部分的境界データが利用可能な場合、可変速度波方程式に対し一意性を確立できるか？
• RQ3 この文脈において、影響領域構造とTataruの一意性拡張定理の相互作用はいかなるものか？
• RQ4 可変音速 $ c(x) $ によって誘導される測地的距離が、一意性のための最小測定集合を決定する上で果たす役割は何か？
• RQ5 解が有界なシリンダー上で消える場合、一意性拡張を用いて、より大きな時空領域へと拡張可能か？

主な発見

• 初期データ $ f(x) $ は、測定領域 $ \Gamma \subset \partial\Omega $ が条件(P)を満たす場合に一意に決定される。すなわち、任意の $ x \in \Omega $ に対して、$ d(x,p) < d_{\mathbb{R}^n \setminus \Omega}(p, \partial\Omega \setminus \Gamma) $ を満たす $ p \in \Gamma $ が存在する。
• 圧力 $ u $ が $ \Gamma \times [0,T] $ で消えるならば、$ f \equiv 0 $ であるため、初期エネルギー分布の一意性が保証される。
• 解 $ u $ は内部全体 $ \Omega \times \{0\} $ で消える必要があるため、$ f(x_0) = u(x_0, 0) = 0 $ となり、$ f \equiv 0 $ となる。
• この手法により、解 $ u $ が時空シリンダー $ B(p,\rho) \times [-H,H] $ で消えるならば、補題3.2の推論により、$ \{ (x,t) \mid d(x,z) + |t| \leq H \} $ で定義されるより大きな領域でも消えることが保証される。
• 証明は $ c(x) $ 及びその微分の有界性に依存しており、一様半径 $ \delta > 0 $ を持つ法線測地座標の存在を保証する。
• 結果は $ c(x) = 1 $ をコンパクトな集合の外で仮定しないため、より一般的なTATモデルに適用可能である。