[論文レビュー] A Universal Construction for (Co)Relations

Brendan Fong, Fabio Zanasi|DROPS (Schloss Dagstuhl – Leibniz Center for Informatics)|Mar 23, 2017

Natural Language Processing Techniques被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、関係、コ関係、線形部分空間などの(コ)関係圏を、写像の基本圏上のスパンとコスパンの余極限として普遍的に構成する手法を提示する。分配法則と圏論的余極限を活用することで、量子計算、制御理論、プログラム意味論における多様な公理的体系を統一し、(コ)関係圏が余極限として生じることを示し、ストリング図の完全でモジュラーな等式的推論を可能にする。

ABSTRACT

Calculi of string diagrams are increasingly used to present the syntax and algebraic structure of various families of circuits, including signal flow graphs, electrical circuits and quantum processes. In many such approaches, the semantic interpretation for diagrams is given in terms of relations or corelations (generalised equivalence relations) of some kind. In this paper we show how semantic categories of both relations and corelations can be characterised as colimits of simpler categories. This modular perspective is important as it simplifies the task of giving a complete axiomatisation for semantic equivalence of string diagrams. Moreover, our general result unifies various theorems that are independently found in literature, including the cases of linear corelations (relevant for the semantics of electrical circuits), of partial equivalence relations and of linear subspaces (semantics of signal flow graphs and of the phase-free ZX calculus).

研究の動機と目的

• 量子プロセス、制御システム、プログラム意味論などの異なる分野における(コ)関係圏の見かけ上異なる構成を統一すること。
• 関係およびコ関係の圏を、より単純な図式的構成要素の余極限として構成する一般的な圏論的枠組みを提供すること。
• ストリング図の意味論における完全な等式的公理的体系が、線形写像や関数の基本圏からモジュラーに導かれるようにすること。
• この余極限構成法をモノイドの代数や正則圏へと拡張し、ベクトル空間にとどまらない範囲に適用可能にする。
• スパンとコスパンからハイパーグラフ圏を構成する基盤的メソッドを確立し、装飾付きコ関係や一般化されたネットワークモデルの今後の研究を支援すること。

提案手法

• 本稿では、写像の基本圏（例えば線形写像や関数）上のスパンとコスパンを用いて、(コ)関係圏をプロップの圏における余極限として構成する。
• プロップの分配法則を適用してスパンとコスパンの構成を組み合わせ、等式的公理的体系のモジュラー導出を可能にする。
• 余極限の普遍性に依拠することで、基本圏および双対圏の公理的体系から、結果として得られる(コ)関係圏の完全な公理的体系を導出する。
• 有限余完備性と分割可能正則イソモルフィズムを備えた正則圏に対して、この構成を一般化し、モノイドのEilenberg–Moore圏への応用を可能にする。
• 具体例を通じて手法を説明する：線形部分空間（SV_k）、同値関係（ER）、部分同値関係（PER）は、すべてスパンとコスパンの余極限として導出される。
• 代数的構造への応用を可能にするために、この枠組みをモノイドの代数へと拡張し、必要な圏論的条件（例えば有限余完備性、分割可能イソモルフィズム）が満たされていることを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 関係およびコ関係の圏は、スパンやコスパンなどのより単純な図式的構成要素から普遍的に構成可能か？
• RQ2 ストリング図の意味論におけるモジュラーで完全な等式的公理的体系は、写像の基本圏からどのように導出可能か？
• RQ3 スパンとコスパンの余極限が、適切に定義された(コ)関係圏を生じるための圏論的条件は何か？
• RQ4 この構成法は、制御理論、量子計算、プログラム意味論の例をどの程度統一的に扱えるか？
• RQ5 この余極限構成法は、双線形積を備えたベクトル空間などのモノイドの代数へと拡張可能か？

主な発見

• 線形部分空間の圏（SV_k）は、線形写像の圏（Vect_k）上のスパンとコスパンの余極限として構成され、普遍的特徴づけが得られる。
• 相互作用的ホプフ代数の理論は、スパンとコスパンの構成に分配法則を適用することで得られるSV_kの完全な等式的公理的体系である。
• この構成法は同値関係（ER）および部分同値関係（PER）へと一般化可能であり、同様の余極限分解が射影と関数を用いて得られる。
• 分割可能正則エピモルフィズムを備えた正則圏上のモノイドのEilenberg–Moore圏へも適用可能であり、代数的構造における関係の構成が可能になる。
• 結果として得られる(コ)関係圏はハイパーグラフ圏であり、特別な可換フロベニウス構造を備えており、ネットワーク風の図式的推論を可能にする。
• FMod_RからVect_kに移行する際に体の拡張が必要な理由を、この枠組みが説明する：余極限構成法は形式的逆元を必要とし、それは分数体にのみ存在する。