[論文レビュー] A universal enveloping for L-infinity algebras

Vladimir Baranovsky|ArXiv.org|Jun 11, 2007

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 7被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、任意の $L_\infty$-代数 $L$ に対して、対称コボルダル代数 $\mathrm{Sym}^*_c(sL)$ 上に $A_\infty$-代数構造を構成し、古典的な普遍包あらゆる代数の一般化を行う。ホモロジー的摂動理論と、パーミュタヘドロンとヤング盤に関連する収縮ホモトピーを用いて、$C(L)$ と普遍包あらゆる代数 $U(L)$ の間の導来同値性を確立し、$U(L)$ 上の $A_\infty$-加群と $L_\infty$-加群の間の同値性を証明する。構成は厳密な準同型に関して函手的であり、ホモトピー Hopf 代数構造を備える。

ABSTRACT

For any L-infinity algebra L, we construct an A-infinity structure on the space of symmetric tensors Sym*(L), which generalizes the classical universal enveloping for Lie algebras. Our construction is based on an invariant homotopy on a cobar construction of the symmetric coalgebra, which is obtained through its relation with permutahedra and Young tableaux.

研究の動機と目的

• Lie 代数から $L_\infty$-代数への古典的普遍包あらゆる代数の構成を一般化すること。
• 任意の $L_\infty$-代数 $L$ に対して、関連する対称コボルダル代数 $\mathrm{Sym}^*_c(sL)$ 上に自然な $A_\infty$-代数構造を定義すること。
• Cartan-Chevalley-Eilenberg コボルダル代数 $C(L)$ と普遍包あらゆる代数 $U(L)$ の間の導来同値性を確立し、BGG 対応を一般化すること。
• $U(L)$ 上の $A_\infty$-加群の圏と $L$ 上の $L_\infty$-加群の圏の間の同値性を証明し、古典的表現論をホモトピー的設定に拡張すること。

提案手法

• DG Lie 代数に対して $U(L)$ に quasi-isomorphic に写像するという事実を踏まえ、cobar コンストラクション $\Omega C(L)$ を出発点とする。
• ホモロジー的摂動理論を用いて、$\Omega \mathrm{Sym}^*_c(sL)$ 上の微分を摂動し、$\mathrm{Sym}^*_c(sL)$ 上に $A_\infty$-構造を誘導する。
• 群 $\Sigma_n$ の群コホモロジーとパーミュタヘドロン $P_n$ のセルコホモロジーを含む複体 $V^{\bigotimes n} \otimes_{k[\Sigma_n]} C_*(P_n)$ を介して、$\Omega \mathrm{Sym}^*_c(sV)$ と同型な複体を確立する。
• 半標準ヤング盤とパーミュタヘドロンの組合せ論に起因する、$\Omega \mathrm{Sym}^*_c(sV)$ 上の函手的だが非標準的な収縮ホモトピーを構成する。
• ねじれたコチェーン条件を用いて加群構造を定義し、$A_\infty$ および $L_\infty$ の設定における微分と整合性を持つテンソル積 $N \otimes_\tau A$ と $M \otimes_\tau C$ を導出する。
• 摂動補題を適用して、$\Omega \mathrm{Sym}^*_c(sL)$ 上の $A_\infty$-構造を $\mathrm{Sym}^*_c(sL)$ 上に転送し、その結果得られる構造が一般化された普遍包あらゆる性質を満たすことを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Lie 代数の古典的普遍包あらゆる代数の構成を、代数的およびホモロジー的性質を保ちながら $L_\infty$-代数へ拡張することは可能か？
• RQ2 $L_\infty$-代数 $L$ に対して、対称コボルダル代数 $\mathrm{Sym}^*_c(sL)$ 上に普遍包あらゆる代数を一般化する自然な $A_\infty$-代数構造が存在するか？
• RQ3 構成された普遍包あらゆる代数 $U(L)$ 上の $A_\infty$-加群の導来圏は、$L$ 上の $L_\infty$-加群の導来圏と一致するか？
• RQ4 $\Omega \mathrm{Sym}^*_c(sV)$ 上に、函手的かつ $GL(V)$-不変な収縮ホモトピーを、特に次数 0 で構成できるか？
• RQ5 構成された普遍包あらゆる代数 $U(L)$ の操業的および Hopf 代数的性質は何か？また、ホモトピー Hopf 代数構造を備えているか？

主な発見

• 本稿では、任意の $L_\infty$-代数 $L$ に対して、$\mathrm{Sym}^*_c(sL}$ 上に自然な $A_\infty$-代数構造を構成し、古典的普遍包あらゆる代数を一般化する。
• $\Omega \mathrm{Sym}^*_c(sV) \simeq k \oplus \bigoplus_{n \geq 1} \left( V^{\otimes n} \otimes_{k[\Sigma_n]} C_*(P_n) \right)$ という複体の同型を確立し、cobar コンストラクションとパーミュタヘドロンのコホモロジーを結びつける。
• $\Omega \mathrm{Sym}^*_c(sL)$ 上に函手的かつ $GL(L)$-不変な収縮ホモトピーを構成し、ホモロジー的摂動理論を用いて $A_\infty$-構造を $\mathrm{Sym}^*_c(sL)$ 上に転送可能であることを示す。
• 構成された普遍包あらゆる代数 $U(L)$ は、$C(L)$ と $U(L)$ の間の導来同値性を満たし、BGG 対応を一般化する。
• $U(L)$ 上の $A_\infty$-加群の圏と $L$ 上の $L_\infty$-加群の圏の間の同値性を証明し、古典的表現論を $L_\infty$-設定へ拡張する。
• $U(L)$ がホモトピー Hopf 代数であることが示されたが、その操業的解釈はまだ明確でない。