[論文レビュー] A Universal Fractional Model of Wall-Turbulence

Fangying Song, George Em Karniadakis|arXiv (Cornell University)|Aug 26, 2018

Fluid Dynamics and Turbulent Flows参考文献 4被引用数 13

ひとこと要約

本論文は、壁面から距離に依存する次数 α(y) が壁面で1から中心線に向かって低くなる非局所的分数マシン導関数を用いて、壁に近い乱流流れのための普遍的な可変次数分数モデル（VFM）を提案する。このモデルは、さまざまなレイノルズ数におけるチャネル流、パイプ流、コウエット流の平均速度プロファイルを高精度に予測し、DNSおよび実験データ（プリンストン・スーパー・パイプの結果を含む）と優れた一致を示す。非局所的乱流相互作用と可変拡散率を捉え、普遍的な α(y) 関数を示している。

ABSTRACT

Modeling of wall-bounded turbulent flows is still an open problem in classical physics, with only modest progress made in the last few decades beyond the so-called `log law', which describes only the intermediate region in wall-bounded turbulence, i.e., $30-50 y^+ ext{ to } 0.1-0.2 R^+$ (in wall units) in a pipe of radius $R$. Here we propose a fundamentally new approach based on fractional calculus to model the {\em entire} mean velocity profile from the wall to the centerline of the pipe. Specifically, we represent the Reynolds stresses with a non-local fractional derivative of {\em variable order} that decays with the distance from the wall. Surprisingly, we find that this variable fractional order has a universal form for all Reynolds numbers and for three different flow types, i.e., channel flow, Couette flow, and pipe flow. We first use existing data bases from direct numerical simulations (DNS) to learn the variable fractional order function, and subsequently we test it against other DNS data and experimental measurements, including the Princeton superpipe experiments. Taken together, our findings reveal the continuous and decaying change of rate of turbulent diffusion from the wall as well as the strong non-locality of turbulent interactions that intensify away from the wall.

研究の動機と目的

• 古典的な対数則を越えて、壁に近い乱流の全範囲の平均速度プロファイルをモデル化する長年の課題に取り組む。
• 局所的乱流モデルの限界を打ち破るために、可変次数分数積分法を用いて非局所性を導入する。
• チャネル流、パイプ流、コウエット流のための、レイノルズ数に依存しない普遍的モデルを分数微分を用いて構築する。
• DNSおよび実験測定（プリンストン・スーパー・パイプを含む）といった多様なデータセットに対して、モデルを検証する。
• 分数次数 α(y) を通じて、乱流拡散の可変性および非局所的相互作用の物理的起源を解明する。

提案手法

• 変数次数分数微分方程式（VFM）を ν₀∂²U/∂y² + ν(y)Dᵧ^{α(y)}U = f の形で定式化し、Dᵧ^{α(y)} をキャプト分数導関数とする。
• 乱流拡散率 ν(y) を ν(y) = fΓ(2−α(y))Reₜ⁻^{α(y)}V/uₜ として定義し、これを α(y) に直接結びつける。
• 複数のレイノルズ数および流れの種類における直接数値シミュレーション（DNS）データから、可変分数次数 α(y) を学習する。
• 最適化を用いて α(y) をDNSデータに適合させ、その後、未知のDNSおよび実験データに対してモデルを検証する。
• 壁単位および外部単位を用いて、チャネル流、パイプ流、コウエット流にモデルを適用し、普遍的スケーリングを実現する。
• α(y) の区分的線形近似を用いてモデルのロバストネスをテストし、予測された速度およびせん断応力プロファイルを比較する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 可変次数分数導関数モデルは、異なる流れの種類において、壁に近い乱流の全範囲の平均速度プロファイルを捉えることができるか？
• RQ2 レイノルズ数および流れの幾何形状にかかわらず成り立つ普遍的な関数形 α(y) が存在するか？
• RQ3 本モデルは、対数則やスパルディングプロファイルといった古典的モデルと比較して、速度およびせん断応力の予測においてどの程度優れているか？
• RQ4 分数モデルはどの程度、非局所的乱流相互作用および可変拡散率を捉えているか？
• RQ5 再トレーニングなしに、実験データ（例：プリンストン・スーパー・パイプ）に一般化できるか？

主な発見

• 可変分数次数 α(y) は、壁面で α(0) = 1 から中心線に向かって低くなる普遍的な減衰プロファイルを示し、レイノルズ数や流れの種類に依存しない。
• チャネル流において Reₜ = 180 から 8600 の範囲で、モデルはDNSおよび実験データと高い忠実性で一致する平均速度プロファイルを正確に予測する。
• Reₜ = 4200 の場合、モデルはそのレイノルズ数のデータでトレーニングされていないにもかかわらず、速度プロファイルを正確に予測し、一般化能力を示している。
• Reₜ = 180 から 4200 の範囲で、モデルはDNSデータとよく一致するレイノルズせん断応力プロファイルを予測しており、物理的整合性が確認された。
• 乱流コウエット流れにおいて、Reₜ = 52 から 250 の範囲で、VFMは平均速度およびせん断応力をDNSおよび実験データとよく一致して正確に予測した。
• パイプ流れにおいて、広いレイノルズ数範囲で、本モデルはスパルディングプロファイルおよび二重対数フィットよりも速度プロファイルの捉え方で優れている。