[論文レビュー] A universal nuclear operator system

Martino Lupini|arXiv (Cornell University)|Nov 30, 2014

Advanced Operator Algebra Research参考文献 40被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、分離可能で、1-正確、核的、かつ均一な、ほぼ万全な配置を持つGurarij作用素系（GS）を導入する。これは完全順序同型に関して一意であり、Fraïssé理論を用いて、すべての分離可能な1-正確作用素系を普遍的に埋め込み、Oikhbergの1-正確C*-代数埋め込みに関する問いを解決する。

ABSTRACT

By means of Fraïssé theory for metric structures developed by Ben Yaacov, we show that there exists a separable $1$-exact operator system $\mathbb{GS}$---which we call the Gurarij operator system---of almost universal disposition. This means that whenever $E\subset F$ are finite-dimensional $1$-exact operator systems, $ϕ:E ightarrow \mathbb{GS}$ is a unital complete isometry, and $\varepsilon >0$, there is a linear extension $\widehat{ϕ}:F ightarrow \mathbb{GS}$ of $ϕ$ such that $||\widehat{ϕ}||_{cb}{}||\widehat{ϕ}^{-1}||_{cb}\leq 1+\varepsilon $. Such an operator system is unique up to complete order isomorphism. Furthermore it is nuclear, homogeneous, and any separable $1$-exact operator system admits a complete order embedding into $\mathbb{GS}$. The space $\mathbb{GS}$ can be regarded as the operator system analog of the Gurarij operator space $\mathbb{NG}$ introduced by Oikhberg, which is in turn a canonical operator space structure on the Gurarij Banach space. We also show that the canonical $\ast $-homomorphism from the universal C*-algebra of $\mathbb{GS}$ to the C*-envelope of $\mathbb{GS}$ is a $\ast $-isomorphism. This implies that $\mathbb{GS}$ does not admit any complete order embedding into a unital exact C*-algebra. In particular $\mathbb{GS}$ is not completely order isomorphic to a unital C*-algebra. With similar methods we show that the Gurarij operator space $\mathbb{NG}$ does not admit any completely isometric embedding into an exact C*-algebra, and in particular $\mathbb{NG}$ is not completely isometric to a C*-algebra. This answers a question of Timur Oikhberg.

研究の動機と目的

• 分離可能な1-正確作用素系の圏におけるほぼ万全な配置を持つ普遍的対象を構成すること。
• この普遍的対象の一意性と均一性を完全順序同型に関して示すこと。
• Timur Oikhbergが提起した問い、すなわちGurarij作用素空間またはその作用素系版が完全等長的に正確C*-代数に埋め込めるか否かを解決すること。
• 普遍作用素系のC*-包絡とその普遍C*-代数との間に、同型が存在することを示し、これにより正確C*-代数への埋め込み不可能性を示すこと。

提案手法

• ユニタリな完全等長埋め込みを伴う、有限次元1-正確作用素系の圏に、メトリック構造のためのFraïssé理論を適用すること。
• この圏のFraïssé極限としてGurarij作用素系（GS）を構成すること。
• GSがほぼ万全な配置を持つことを証明する：任意の有限次元1-正確作用素系からGSへのユニタリな完全等長埋め込みは、任意の有限次元上位系へのほぼ有界な完全有界拡張をもつこと。
• GSの核的性と均一性を用いて、分離可能な1-正確作用素系の中でその一意性と普遍性を確立すること。
• GSのC*-包絡を分析し、その普遍C*-代数からC*-包絡への標準*-準同型が*-同型であることを示すこと。
• この手法をGurarij作用素空間NGに拡張し、NGも任意の正確C*-代数に完全等長的に埋め込めないことを証明すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 分離可能で1-正確、ほぼ万全な配置を持つ作用素系が、すべての分離可能な1-正確作用素系を普遍的に埋め込むものとして存在するか？
• RQ2 このような普遍的作用素系は完全順序同型に関して一意的か？
• RQ3 Gurarij作用素系はユニタリな正確C*-代数に完全順序同型に埋め込めるか？
• RQ4 Gurarij作用素系の普遍C*-代数からC*-包絡への標準*-準同型は同型か？
• RQ5 Gurarij作用素空間NGは正確C*-代数に完全等長的に埋め込めるか？

主な発見

• Gurarij作用素系GSは、分離可能で、1-正確、核的、かつ均一な作用素系であり、ほぼ万全な配置を持つ。
• GSは、分離可能な1-正確作用素系の中で、ほぼ万全な配置を持つものについて完全順序同型に関して一意である。
• 任意の分離可能な1-正確作用素系は、GSへの完全順序埋め込みをもつ。
• GSの普遍C*-代数からC*-包絡への標準*-準同型は*-同型であり、これによりGSは任意のユニタリなC*-代数と完全順序同型でないことが示される。
• Gurarij作用素空間NGは、任意の正確C*-代数に完全等長的に埋め込めず、Oikhbergの問いに答えを提示する。
• GSおよびNGは、任意のC*-代数と完全等長でなく、GSは任意のユニタリな正確C*-代数に埋め込めない。