[論文レビュー] A Universal Scheme for Transforming Binary Algorithms to Generate Random Bits from Loaded Dice

Hongchao Zhou, Jehoshua Bruck|arXiv (Cornell University)|Sep 4, 2012

Cellular Automata and Applications参考文献 13被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、偏りのあるコインを対象とした任意の二値アルゴリズムを、m面の歪みのあるサイコロ（m面のソース）から無作為なビットを生成できるように変換する包括的フレームワークを提示する。サイコロの出目から二値化ツリーを構築し、ツリー内の各パスにそのアルゴリズムを適用することで、独立で無作為な出力シーケンスを保証する。これは、エリスやペレスの既存のコインベースの方式を、情報効率が最適な状態で任意のアルファベットに一般化するものである。

ABSTRACT

In this paper, we present a universal scheme for transforming an arbitrary algorithm for biased 2-face coins to generate random bits from the general source of an m-sided die, hence enabling the application of existing algorithms to general sources. In addition, we study approaches of efficiently generating a prescribed number of random bits from an arbitrary biased coin. This contrasts with most existing works, which typically assume that the number of coin tosses is fixed, and they generate a variable number of random bits.

研究の動機と目的

• 既存の偏りのあるコインのための二値アルゴリズムを、m面の歪みのあるサイコロに対応可能にする。
• エリスやペレスなどのよく知られた最適アルゴリズムを、二値コインを越えた一般のソースモデルに適用可能にする。
• 偏りのあるソースから固定長の出力ビットを効率的に生成する手法のギャップを埋める。
• 出力ビットの統計的独立性と一様性を保証する体系的な手法を提供する。

提案手法

• サイコロの出目系列から、各ノードがサイコロの目の二進表現の接頭辞に対応する二値化ツリーを構築する。
• ルートからリーフまでのパスに沿って、サイコロの目の二進符号化におけるビットに基づき、各ノードに二進列（H/T）を割り当てる。
• 任意の固定入力・固定出力の二値アルゴリズム Ψ（例：エリスまたはペレス）を、各ノードの二進列に適用してランダムビットを生成する。
• すべてのノードからの出力を連結して、最終的な無作為なビットストリームを形成する。
• 入力シーケンスが相関していても、出力シーケンスが独立で一様分布に従うことを証明する。
• 一意な復号を保証し、曖昧さを回避するため、パスのプレフィックスフリーで完全な辞書を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 既存の偏りのあるコインのための最適な二値アルゴリズムを、m面の歪みのあるサイコロに一般化できるか？
• RQ2 最小限のサイコロの出目で、固定数のランダムビットを効率的に生成する方法は何か？
• RQ3 二値化ツリー内の複数の相関するパスからの出力の連結は、統計的独立性と一様性を保つのか？
• RQ4 二値化ツリーのどのような構造的性質が、正しいかつ無作為なビット生成を保証するのか？

主な発見

• 提案された包括的スキームにより、任意の二値アルゴリズム Ψ が、m面のサイコロから独立で無作為なビットを生成する方法に変換可能である。
• この手法は、1回のサイコロの出目あたりの期待出力ビット数において、情報理論的最適性を達成しており、ソースのエントロピーと一致する。
• 二値化ツリーの構築により、生成された二進パスから元のサイコロの出目系列を一意に再構築可能である。
• 異なるノードへの入力シーケンスが確率的に依存していても、Ψ の統計的性質が保たれる。
• このアプローチにより、フォン・ノイマン、エリス、ペレスのアルゴリズムが任意のアルファベットに一般化され、歪みのあるサイコロの利用が可能になる。
• 最小限のサイコロの出目で、所望の数のランダムビットを効率的に生成でき、情報理論的上限に達する効率性を実現する。