[論文レビュー] A universality theorem for nonnegative matrix factorizations

Yaroslav Shitov|arXiv (Cornell University)|Jun 29, 2016

Tensor decomposition and applications参考文献 31被引用数 21

ひとこと要約

本稿は非負行列分解（NMF）の普遍性定理を確立し、任意の有界な半代数的集合が、ある非負行列の非負分解空間と有理同型であることを証明する。主な結果は、NMFが実の存在理論（ETR）と多項式時間同等であることであり、これはNMFが∃ℝ完全であることを示し、非負行列分解の計算複雑性に関する長年の未解決問題、特にℝの異なる部分順序体上での分解に関するCohen–Rothblum問題を解決する。

ABSTRACT

Let $A$ be a matrix with nonnegative real entries. A nonnegative factorization of size $k$ is a representation of $A$ as a sum of $k$ nonnegative rank-one matrices. The space of all such factorizations is a bounded semialgebraic set, and we prove that spaces arising in this way are universal. More presicely, we show that every bounded semialgebraic set $U$ is rationally equivalent to the set of nonnegative size-$k$ factorizations of some matrix $A$ up to a permutation of matrices in the factorization. We prove that, if $U\subset\mathbb{R}^n$ is given as the zero locus of a polynomial with coefficients in $\mathbb{Q}$, then such a pair $(A,k)$ can be computed in polynomial time. This result gives a complete description of the algorithmic complexity of nonnegative rank, and it also allows one to solve the problem of Cohen and Rothblum on nonnegative factorizations restricted to matrices over different subfields of $\mathbb{R}$.

研究の動機と目的

• 非負行列分解（NMF）の普遍性定理を確立し、NMFの解空間が任意の有界な半代数的集合を符号化できることを示すこと。
• NMFの正確なアルゴリズム的複雑性を特定し、その計算の困難さに関する長年の未解決問題を解明すること。
• ℝの異なる順序部分体上でのNMFの挙動に関するCohen–Rothblum問題を解明すること。
• 有理数係数の場合に、行列Aと分解サイズkを多項式時間で計算可能であり、そのNMF空間が与えられた半代数的集合と有理同型であることを示すこと。

提案手法

• 与えられた有界な半代数的集合Uと有理同型である非負k分解の集合を持つ行列Aと分解サイズkを構成する。
• 変数ギャジェット（パラメータを備えた特殊な行列構成）を用い、[0,1]の範囲にある変数を符号化し、非負ランク条件によって代数的制約を強制する。
• 有理数パラメータと変数成分を含むブロック行列を用いて線形結合を符号化し、線形方程式が満たされるときにのみ非負ランクが低下するように保証する。
• 特定の構造を持つ3×3ブロック行列を用いて変数の積を符号化し、非負ランク制約によってu₁u₂ = vを強制する。
• 多項式方程式を変数の和と積に分解することで、反復的に任意の多項式方程式を符号化する。
• 最終的な行列Hは、符号化された方程式を組み合わせたブロック対角行列として構築され、その非負分解空間が元の多項式系の解集合と強く同値であることが示される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の有界な半代数的集合は、非負行列分解問題の解空間として実現可能か？
• RQ2 非負行列分解問題は、実の存在理論（ETR）に関して完全か？
• RQ3 分解ランクが有界でない場合のNMFの計算複雑性は何か？他の代数的問題と比較するとどうなるか？
• RQ4 ℚや他の順序体を含むℝの異なる部分体に制限した場合、NMFの複雑性はどのように変化するか？
• RQ5 有理数係数で定義された与えられた半代数的集合に対して、行列Aと分解サイズkを多項式時間で計算可能であり、そのNMF空間がその半代数的集合と有理同型であるか？

主な発見

• 非負行列の非負k分解空間は普遍的である：任意の有界な半代数的集合は、このような空間と有理同型である。
• NMFは実の存在理論（ETR）と多項式時間同等であるため、∃ℝ完全である。
• 有理数係数の多項式の零点集合として定義される任意の半代数的集合U ⊂ ℝⁿに対して、行列Aと整数kを多項式時間で計算可能であり、そのNMF空間はUと有理同型である。
• NMFの解空間は、特殊な行列ギャジェットを用いた線形および積の制約の組み合わせにより、任意の多項式方程式を符号化できる。
• ℝの異なる部分体上でのNMFに関するCohen–Rothblum問題は完全に解決された：複雑性と実現可能性は体に依存し、構成により一様なフレームワークが提供される。
• 構築された行列Hの非負ランクは正確にρ = 5r + 9(∑(mᵢ − 1))であり、その分解空間は元の多項式系の解集合と強く同値である。