[論文レビュー] A user-friendly condition for exponential ergodicity in randomly switched environments

Michel Benaı̈m, Tobias Hurth+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 9, 2018

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 13被引用数 14

ひとこと要約

本稿は、コンパクトな不変集合上で有限個のベクトル場をランダムに切り替えるpiecewise deterministic Markov process (PDMP)における指数的エルゴード性の、使いやすい条件を確立する。前人研究で要求されていた、グローバルに漸近的に安定な均衡点の存在という条件を、ある重心結合が消える「到達可能点」の存在に置き換えることで、弱いHörmander型括弧条件のもとで全 Variation における指数的収束を証明する。実用的な検証を容易にするとともに、Li, Liu, and Cui (2017) の先行結果を拡張する。

ABSTRACT

We consider random switching between finitely many vector fields leaving positively invariant a compact set. Recently, Li, Liu and Cui showed that if one the vector fields has a globally asymptotically stable (G.A.S.) equilibrium from which one can reach a point satisfying a weak H\\"ormander-bracket condition, then the process converges in total variation to a unique invariant probability measure. In this note, adapting the proof of Li, Liu and Cui and using results of Bena\\"im, Le Borgne, Malrieu and Zitt, the assumption of a G.A.S. equilibrium is weakened to the existence of an accessible point at which a barycentric combination of the vector fields vanishes. Some examples are given which demonstrate the usefulness of this condition.

研究の動機と目的

• ランダムに切り替わるPDMPにおける指数的エルゴード性に関する先行研究で要求されていた、グローバルに漸近的に安定な（G.A.S.）均衡点の仮定を弱める。
• 弱いHörmander括弧条件のもとで、全 Variation における指数的収束のための、より到達可能で検証しやすい条件を確立する。
• Benaïm, Loulou, Méléard, and Zuyev (2015) の結果を活用し、Li, Liu, and Cui (2017) の枠組みを適応することで、指数的エルゴード性の証明を簡略化する。
• 特に、強い括弧条件が成り立たない非解析的設定においても、実用的な有効性を例示することで、新条件の実用的利点を示す。
• 新条件と強い括弧条件との関係を明確にし、解析的条件下では新条件が強い括弧条件を含意することを示すが、一般には厳密に弱いことを示す。

提案手法

• 新条件の導入：ある重心結合が消える到達可能点 $e^\star$ の存在、すなわち $\sum_{i=1}^N \alpha_i F^i(e^\star) = 0$ となる $\alpha_i > 0$, $\sum \alpha_i = 1$ が存在すること。
• 合成フロー $\mathbf{\Phi}_{\mathbf{u}}^{\mathbf{i}}$ を用いたドービン点と到達可能性の概念を用い、過程の到達可能性と正則性を特徴付ける。
• 合成フロー写像 $\Psi$ 及びその摂動 $\overline{\Psi}$ にサブマージョン定理を適用し、新条件のもとで $e^\star$ においてヤコビアンのランクがフルであることを証明する。
• 重心結合の消滅と $\Psi$ のサブマージョン性を用いて、導関数の族 $\partial \overline{\Psi}/\partial v_k$ 及び $\partial \overline{\Psi}/\partial \bar{v}_k$ が $\mathbb{R}^d$ を張ることを示し、$\overline{\Psi}$ が $e^\star$ でサブマージョンであることを確立する。
• [BLBMZ15] の結果を活用し、フルランクのサブマージョンが存在する点ではドービン集合が存在することを示し、これにより全 Variation における指数的エルゴード性が保証される。
• 到達可能点における弱い括弧条件と新条件を組み合わせることで、過程がドービン条件を満たし、指数的に収束するための必要な正則性が保証されることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 先行のランダムに切り替わるPDMPにおけるエルゴード性結果で要求されていた、グローバルに漸近的に安定な均衡点の仮定を、より弱く検証しやすい条件に置き換えられるか？
• RQ2 弱いHörmander括弧条件のもとで、あるベクトル場の重心結合が消える到達可能点が存在することは、指数的エルゴード性を保証するか？
• RQ3 新条件は強い括弧条件とどのように関係し、どのような設定で厳密に弱いか？
• RQ4 強い括弧条件の検証が困難な系において、新条件を実用的に適用できるか？
• RQ5 解析的性が、重心条件と強い括弧条件を結ぶ役割を果たすか？

主な発見

• 本稿は、全 Variation における指数的エルゴード性が、グローバルに漸近的に安定な均衡点の代わりに、ある到達可能点 $e^\star$ でベクトル場の重心結合が消えるというより弱い条件下でも成立することを確立する。
• Benaïm et al. (2015) のサブマージョンとドービン集合に関する結果を活用することで、Li et al. (2017) が用いたより複雑なカップリング法を避けることで、証明手法が簡略化される。
• 解析的条件下では、到達可能点における重心条件が強い括弧条件を含意するため、[BLBMZ15] の結果の完全な強さが回復される。
• 一般には、新条件は強い括弧条件よりも厳密に弱く、例 2.14 により、重心条件と弱い括弧条件を満たすが強い括弧条件を満たさない系が存在することが示される。
• 例 2.13 により、非解析的条件下では重心条件が強い括弧条件を含意しないことが確認され、一般には両者が独立であることが明確になる。
• 著者らは、新条件のもとで合成フロー写像 $\overline{\Psi}$ が $e^\star$ でサブマージョンであることを証明し、これによりドービン集合の存在が保証され、結果として指数的エルゴード性が成立することを示す。