[論文レビュー] A user guide for Singularity

Majid Gazor, Mahsa Kazemi|arXiv (Cornell University)|Jan 3, 2016

Polynomial and algebraic computation参考文献 7被引用数 6

ひとこと要約

本論文では、特異性および分岐理論における記号的計算のための Maple ライブラリである Singularity を提示する。このライブラリは、スカラー滑らか写像の局所的実零点の解析を可能にする。特異性の分類を自動化するために、標準基底やグレブナー基底、正規形、ユニバーサルアンフォールディング、内在的イデアルといった計算代数幾何の技法が用いられ、定性的な力学系理論や制御理論への応用が可能である。

ABSTRACT

This is a user guide for the first version of our developed Maple library, named Singularity. The first version here is designed for the qualitative study of local real zeros of scalar smooth maps. This library will be extended for symbolic bifurcation analysis and control of different singularities including autonomous differential singular systems and local real zeros of multidimensional smooth maps. Many tools and techniques from computational algebraic geometry have been used to develop Singularity. However, we here skip any reference on how this library is developed. This package is useful for both pedagogical and research purposes. Singularity will be updated as our research progresses and will be released for public access once our draft paper [4] is peer-reviewed in a refereed journal.

研究の動機と目的

• スカラー滑らか写像の局所的実零点の定性的解析のための包括的かつ使いやすい Maple ライブラリを提供すること。
• 特異性理論における主要な代数的対象（接空間、正規形、ユニバーサルアンフォールディングなど）の計算を自動化すること。
• 分岐理論および力学系の分野における教育的利用と高度な研究の両方を支援すること。
• 多次元状態変数および自律的微分方程式系への将来的な拡張の基盤を築くこと。
• 標準基底、コロンイデアル、乗法行列といった計算代数幾何のツールを統合的フレームワークとして特異性解析に統合すること。

提案手法

• ライブラリは、標準基底およびグレブナー基底を含む計算代数幾何の手法を用い、滑らか写像の生成の代数的不変量を計算する。
• AlgObjects コマンドにより、制限接空間（RT）、接空間（T）、高次項イデアル（P）が計算される。
• 正規形は Normalform コマンドにより計算され、k オプションを用いて切断次数を制御できる。
• ユニバーサルアンフォールディングは UniversalUnfolding および UniversalUnfoldingPars を用いて生成され、分岐の分類が可能になる。
• 認識問題は、正規形と内在的生成子の比較により解決され、IntrinsicGen は最小非ゼロ条件を特定する。
• TransitionSet および PersistentDiagram といったツールにより、パラメータ空間における分岐図と遷移集合が分類される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 記号的計算を用いて、スカラー滑らか写像の局所的特異性を体系的かつ分類することは可能か？
• RQ2 正規形およびユニバーサルアンフォールディングの決定を自動化するために必要な計算ツールは何か？
• RQ3 特異性分類のため、内在的イデアルと補空間を効率的に計算するにはどうすればよいか？
• RQ4 標準基底および乗法行列は、特異性を持つ生成の解析において果たす役割は何か？
• RQ5 分岐図および遷移集合をアルゴリズム的に生成し、分類することは可能か？

主な発見

• Singularity ライブラリは、指定された切断次数まで、生成の正規形を正常に計算する。例として、コードィミエンス 10 の例では、正規形は {x^5, λ^3} によって決定される。
• コードィミエンス 20 の特異性に対して、TangentPerp は接空間の補空間のモナミアル基底をサイズ 18 で計算し、高次元の特異性が確認された。
• 最小の内在的イデアルの生成子は、コードィミエンス 13 の生成に対して {x^7, xλ^2} として計算され、特異性タイプの認識が可能になった。
• ライブラリはデフォルトですべての出力を検証し、検証に計算コストがかかる場合には警告を出力し、検証の推奨事項を提供する。
• 遷移集合および恒常的分岐図はアルゴリズム的に計算され、パラメータ空間における分岐構造の可視化が可能になった。
• ライブラリは多様な計算環（例えば、有理関数、多項式）をサポートし、非多項式入力に対しては最小の切断次数を動的に選択する。