[論文レビュー] A user-guide to Gridap -- grid-based approximation of partial differential equations in Julia

Francesc Verdugo, Santiago Badia|arXiv (Cornell University)|Oct 3, 2019

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 10被引用数 6

ひとこと要約

Gridap は、Julia で作られた高性能でオープンソースの有限要素ライブラリであり、複雑な偏微分方程式（PDE）を最小限で洗練されたコードで解くことを可能にする。Julia のジャストインタイムコンパイル、マルチディ patch、およびラージなデータ構造を活用することで、Gridap は C/Fortran 水準のパフォーマンスを達成しながらも、高水準スクリプティング言語の生産性を維持しており、線形および非線形 PDE に関するチュートリアルを通じてその有効性が示されている。代表例としてストークス問題やナビエ-ストークス問題が含まれる。

ABSTRACT

We present Gridap, a new scientific software library for the numerical approximation of partial differential equations (PDEs) using grid-based approximations. Gridap is an open-source software project exclusively written in the Julia programming language. The main motivation behind the development of this library is to provide an easy-to-use framework for the development of complex PDE solvers in a dynamically typed style without sacrificing the performance of statically typed languages. This work is a tutorial-driven user guide to the library. It covers some popular linear and nonlinear PDE systems for scalar and vector fields, single and multi-field problems, conforming and nonconforming finite element discretizations, on structured and unstructured meshes of simplices and hexahedra.

研究の動機と目的

• 科学計算における二言語問題に取り組むため、PDE シミュレーションにおいて高生産性と高パフォーマンスを統合する。
• パフォーマンスを犠牲にすることなく、複雑な有限要素法を実装できるユーザーフrndly で洗練されたフレームワークを提供する。
• Julia の高水準構文を活用して、研究者や学生が高度な PDE ソルバーを効率的にプロトタイピングおよびデプロイできるようにする。
• 低レベルのアセンブリやデータ構造の抽象化により、有限要素法の開発時間と学習曲線を短縮する。
• 将来の拡張、例えば並列処理、自己適合メッシュの細分化、および高性能ソルバーとの統合の基盤を確立する。

提案手法

• 明示的な型宣言なしで、Julia のマルチディパッチと型推論を活用して高パフォーマンスを達成する。
• セル単位の行列やベクトルを表すラージなデータ構造を用いることで、アセンブリループの抽象化を実現する。
• 数学的表記に近く直感的な LaTeX ライクな構文を用いて弱形式を定義する。
• TrialFESpace、TestFESpace、MultiFieldFESpace などの高水準抽象化を活用して、マルチフィールドおよび非線形問題を実装する。
• 非構造格子および構造格子の両方で、組み込みの数値積分ルールと三角形分割を用いて変分形式を構築する。
• 非線形問題のためのモジュラーな FESolver インターフェースを通じて、ニュートンソルバーとラインサーチ手法を統合する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Julia のような高水準で動的型付けがなされる言語が、C++ や Fortran のような静的型付け言語と同等のパフォーマンスを、有限要素 PDE ソルバーで達成できるか？
• RQ2 有限要素アセンブリの複雑さをどのように抽象化すれば、コードの可読性と開発生産性を向上させられるか？
• RQ3 Julia のマルチディパッチおよび関数型プログラミングパラダイムを、パフォーマンスが高く、合成可能な有限要素フレームワークの設計にどの程度活用できるか？
• RQ4 1つのライブラリが、適合および非適合有限要素、および混合・マルチフィールド式を、一貫性があり洗練された構文ですべてサポートできるか？
• RQ5 科学的ソフトウェアライブラリの設計は、実行時オーバーヘッドを最小限に抑えつつ、型安定性を保ち、効率的な JIT コンパイルを可能にするにはどうすればよいか？

主な発見

• Gridap を用いることで、ストークス方程式やナビエ-ストークス方程式といった複雑な PDE 問題が、数学的定式化に近く、最小限で読みやすいコードで実装可能である。
• Julia のジャストインタイムコンパイルと、型安定性を保ちながら動的メモリ割り当てを最小限に抑える洗練された設計のおかげで、高いパフォーマンスが達成されている。
• セル単位の寄与のラージ評価により、アセンブリループの抽象化が可能となり、ユーザーのコードが著しく簡素化される。
• フレームワークは、単体およびヘキサヘドロンの構造格子および非構造格子をサポートしており、適合および非適合有限要素離散化も可能である。
• 非線形問題、特にナビエ-ストークス方程式は、高水準関数定義による自動残差およびヤコビ行列計算を伴うニュートン法により、効率的に解かれる。
• チュートリアル例の結果、例えば速度場の流れ線図など、可視化や解析に適した正しく使いやすいフレームワークの有効性が確認されている。