[論文レビュー] A van der Corput lemma and weak mixing over groups

Conrad Beyers, Rocco Duvenhage+1 more|ArXiv.org|Dec 2, 2005

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 10被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、不変測度を備えた可換第二可分位相群上の測度保存力学系に対して、すべての順序の弱混合性を、このような群上のヒルベルト空間値関数に対する一般化されたヴァン・ダール・コプット補題を用いて確立する。主な貢献は、$M$ に属する準同型が相異なるかつ平行移動的である場合に、$M$-弱混合性（一様に空間を埋め尽くすネットに関して）がすべての順序の弱混合性を示すことである。

ABSTRACT

We study weak mixing of all orders for weakly mixing measure preserving dynamical systems, where the dynamics is given by the action of an abelian second countable topological group which has an invariant measure under the group operation. One of the main technical tools we use is a van der Corput lemma for Hilbert space valued functions on a second countable topological group.

研究の動機と目的

• \$\mathbb{Z}", "\mathbb{R}", "の範囲を超えて、不変測度を備えたより一般的な可換第二可分位相群へのすべての順序の弱混合性の概念の拡張。
• このような群上のヒルベルト空間値関数に対するヴァン・ダール・コプット補題の開発を、中心的な技術的道具として行う。
• 不変平均に依存しない、$\frac{1}{N}\sum_{n=1}^N$ 平均形の直接的な一般化を提供する。
• 群の準同型を用いて、$M$-弱混合性がすべての順序の弱混合性を示す条件を確立する。
• 相異なる準同型を含む多重エルゴード平均の収束に基づいて、すべての順序の弱混合性を特徴づける。

提案手法

• 第二可分位相群上のヒルベルト空間値関数に対する一般化されたヴァン・ダール・コプット補題を、右不変測度を用いて導入する。
• 空間を埋め尽くすネット（フォルナー・ネット）および一様に空間を埋め尽くすネットを定義し、$\mathbb{Z}$ や $\mathbb{R}$ を超える平均化プロセスを一般化する。
• $\frac{1}{\mu(\Lambda_n)}\int_{\Lambda_n} u_g \, dg$ の $L^2$-ノルム収束を用いて、弱混合性の挙動を分析する。
• 一般化されたヴァン・ダール・コプット補題を用いて、相異なる準同型を含む多重相関平均のノルムを制御する。
• 相関に含まれる集合の数に関する帰納法を用いて、すべての順序の弱混合性を証明する。
• $\{\Lambda_n^{-1}\Lambda_n\}$ が一様に空間を埋め尽くすことを用いて、必要な収束性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一様に空間を埋め尽くすネット $\{\Lambda_n\}$ に関して $M$-弱混合性が、確率空間上の群作用についてすべての順序の弱混合性を示す条件は何か？
• RQ2 古典的なヴァン・ダール・コプット補題は、不変測度を備えた可換第二可分位相群上のヒルベルト空間値関数にどのように一般化できるか？
• RQ3 弱混合性のすべての順序を保証するための準同型の集合 $M$ の構造は、どのように機能するか？
• RQ4 $\{\Lambda_n^{-1}\Lambda_n\}$ に関して $M$-弱混合性の仮定を削除するか、別の空間を一様に埋め尽くす列に置き換えることができる条件は何か？
• RQ5 標準的な $\frac{1}{N}\sum_{n=1}^N$ 形式は、非可換または非離散群作用へ一般化可能か？

主な発見

• 本稿は、測度保存系が一様に空間を埋め尽くすネット $\{\Lambda_n\}$ に関して $M$-弱混合性を満たすならば、$M$ 内の相異なる準同型に関してすべての順序の弱混合性を示すことを証明している。
• 一般化されたヴァン・ダール・コプット補題（定理 2.7′）により、適切な条件下で $\lim_{n\to\infty}\left\|\frac{1}{\mu(\Lambda_n)}\int_{\Lambda_n} u_g \, dg\right\|_{L^2} = 0$ が成り立ち、多重相関の制御が可能になる。
• $G = \mathbb{Z}$ で $\Lambda_n = \{-n,\dots,n\}$ の場合、系が $\{\Lambda_n\}$ に関して弱混合性を示せば、古典的結果が回復される。
• $G = \mathbb{R}^q$ の場合、半径 $m$ の開球体 $\Lambda_m$ をとると、$\Lambda_m^{-1}\Lambda_m = \Lambda_{2m}$ であり、これは定理 4.4 の条件を満たす一様に空間を埋め尽くすネットである。
• $\{\Lambda_n^{-1}\Lambda_n\}$ が一様に空間を埋め尽くすならば、補題 3.10 より $M$-弱混合性の仮定は削除可能である。
• $M$ が $\mathbb{R}^q$ に作用する非ゼロの対角 $q\times q$ 行列からなる集合である場合、これは平行移動的準同型の集合をなし、すべての順序の弱混合性が保証される。