[論文レビュー] A van der Corput-type algorithm for LS-sequences of points

Ingrid Carbone|arXiv (Cornell University)|Sep 17, 2012

Mathematical Approximation and Integration参考文献 4被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、自然数の基数$L+S$表現と特化した$LS$-反転関数を用いて、LS-分割の点の順序を再編成することにより、LS-点列を生成するヴァン・ダール・コプット型のアルゴリズムを提案する。この手法は、基数$L+S$表現とアフィン幾何的写像を活用し、古典的なヴァン・ダール・コプット列をパrameter $L$ と $S$ でパrameter化されたより広いクラスの低ディスcreパンシー列へと拡張する。明示的な構成法と一様分布性を有する。

ABSTRACT

In this paper we associate to any $LS$-sequence of partitions ${ρ_{L,S}^n}$ the corresponding $LS$-sequence of points ${ξ_{L,S}^n}$ obtained reordering the points of each partition with an explicit algorithm. The procedure begins with the representation in base $L+S$ of natural numbers, $[n]_{L+S}$, and ends with the $LS$-radical inverse function $ϕ_{L,S}$, introduced ad hoc, evaluated at an appropriate subsequence of natural numbers depending on $L$ and $S$. This construction is deeply related to the geometric representation of the points of ${ξ_{L,S}^n}$ by suitable affine functions and reminds the van der Corput sequences in base $b$. Keywords: Uniform distribution, sequences of partitions, van der Corput sequences, discrepancy.

研究の動機と目的

• LS-分割の点列からLS-点列を生成するための体系的アルゴリズムの開発。
• 古典的なヴァン・ダール・コプット構成法をパrameter $L$ と $S$ でパrameter化されたより広いクラスの列へと拡張すること。
• 幾何的アフィン写像とLS-点列の分布との関係の確立。
• 点列生成に用いる新しい$LS$-反転関数の定義と活用。
• 得られる点列における一様分布性と低ディスクリパシー性の確保。

提案手法

• 構成は自然数の基数$L+S$表現$[n]_{L+S}$から出発する。
• パrameter $L$ と $S$ に基づいて適切な自然数の部分列が選択される。
• $LS$-反転関数$ϕ_{L,S}$がこの部分列に適用され、点座標が生成される。
• 各分割$ρ_{L,S}^n$の点がこの関数を用いて再順序付けられ、列$ξ_{L,S}^n$が形成される。
• アフィン関数による幾何的表現を用いて、列の解析と構築が行われる。
• この手法は、古典的なヴァン・ダール・コプット列の構成法を$LS$-点列へと一般化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ヴァン・ダール・コプット型のアルゴリズムをどのようにしてLS-点列の生成に適応できるか？
• RQ2 $LS$-反転関数が一様分布性を保証するために果たす役割は何か？
• RQ3 アフィン幾何的写像はLS-点列の構造とどのように関係するか？
• RQ4 基数$L+S$表現のどのような性質が低ディスクリパシー点列の生成を可能にするか？
• RQ5 古典的なヴァン・ダール・コプット構成法をパrameter $L$ と $S$ を持つ$LS$-点列へと一般化できるか？

主な発見

• 提案されたアルゴリズムは、$LS$-反転関数を用いて分割の順序を再編成することにより、$LS$-点列を効果的に生成する。
• 明示的な幾何的および数論的写像を通じて、点の分布が一様になることが保証される。
• パrameter $L$ と $S$ によるパラメータ化により、古典的なヴァン・ダール・コプット列がより広いクラスの列へと一般化される。
• $LS$-反転関数は、この構成のために特に定義され、$L$ と $S$ によって定まる自然数の部分列に依存する。
• アフィン関数による幾何的解釈は、得られる点列の分布と構造に関する洞察を提供する。
• 列$ξ_{L,S}^n$は、基数$L+S$の桁の体系的変換により、低ディスクリパシー性を達成する。