[論文レビュー] A variant of van Hoeij's algorithm to compute hypergeometric term solutions of holonomic recurrence equations

Bertrand Teguia Tabuguia|arXiv (Cornell University)|Dec 21, 2020

Polynomial and algebraic computation被引用数 2

ひとこと要約

この論文は、ガンマ関数の代わりに階乗およびシフト階乗表現を用いることで、正則な再帰的線形方程式の超幾何項解を計算する、van Hoeijのアルゴリズムの変種を提示する。この手法は、元のvan Hoeijのアルゴリズムと同等の効率を維持しながら、記号計算およびべき級数表現に適した出力を得ており、代数的数の取り扱いにおけるバグによりMapleのLREtools[hypergeomsols]が失敗するケースを正常に処理できる。

ABSTRACT

Linear homogeneous recurrence equations with polynomial coefficients are said to be holonomic. Such equations have been introduced in the last century for proving and discovering combinatorial and hypergeometric identities. Given a field K of characteristic zero, a term a(n) is called hypergeometric with respect to K, if the ratio a(n+1)/a(n) is a rational function over K. The solutions space of holonomic recurrence equations gained more interest in the 1990s from the well known Zeilberger's algorithm. In particular, algorithms computing the subspace of hypergeometric term solutions which covers polynomial, rational, and some algebraic solutions of these equations were investigated by Marko Petkov\v{s}ek (1993) and Mark van Hoeij (1999). The algorithm proposed by the latter is characterized by a much better efficiency than that of the other; it computes, in Gamma representations, a basis of the subspace of hypergeometric term solutions of any given holonomic recurrence equation, and is considered as the current state of the art in this area. Mark van Hoeij implemented his algorithm in the Computer Algebra System (CAS) Maple through the command $LREtools[hypergeomsols]$. We propose a variant of van Hoeij's algorithm that performs the same efficiency and gives outputs in terms of factorials and shifted factorials, without considering certain recommendations of the original version. We have implementations of our algorithm for the CASs Maxima and Maple. Such an implementation is new for Maxima which is therefore used for general-purpose examples. Our Maxima code is currently available as a third-party package for Maxima. A comparison between van Hoeij's implementation and ours is presented for Maple 2020. It appears that both have the same efficiency, and moreover, for some particular cases, our code finds results where $LREtools[hypergeomsols]$ fails.

研究の動機と目的

• ガンマ関数の代わりに階乗およびシフト階乗を用いた、より実用的なvan Hoeijのアルゴリズムの変種を開発すること。
• 記号計算システム（Maxima や将来のCAS）との互換性を向上させるために、ガンマ関数表現に依存しないようにすること。
• MapleのLREtools[hypergeomsols]における代数的数および有理関数の取り扱いに関する既知のバグを是正すること。
• 既存の実装が失敗するケースにおいても、正則な再帰的線形方程式の超幾何項解を信頼性高く計算できることを実現すること。
• 超幾何項解を用いて正則関数のべき級数表現を構築することを可能にすること。

提案手法

• van Hoeijの元来のアルゴリズムで用いられるニュートン多角形法の代わりに、PetkovšekのPoly法にインspiredされた漸近展開技術を用いて、無限大における局所型を計算する。
• 超幾何的部品h(n)を、階乗およびポッホハマー記号(p)_nの積として構成し、一意性を保つために(0,1]の区間に正規化する。
• 有限特異点は、P0(n)およびPd(n−d)の整数を法とする根を分析することで取り扱い、解構造に正しい評価の増加を反映させる。
• 多項式係数を整数環Zを法としてモニック因数分解することで、有限特異点における評価の増加条件を自動的に組み込む。
• 基本体K上での直接計算により、不必要なかつての体拡張を回避し、効率性を保ちつつ計算のオーバーヘッドを低減する。
• Maxima（サードパーティパッケージとして）およびMapleにおける実装が提供されており、漸近展開の簡略化および順序制御に注意を払っている。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 van Hoeijのアルゴリズムの変種を設計し、計算効率を損なわずに階乗およびポッホハマー記号形式の超幾何項解を出力できるか？
• RQ2 MapleのLREtools[hypergeomsols]が代数的数を含む特定の再帰的線形方程式で失敗するのはなぜか？この問題は再設計されたアルゴリズムによって解消可能か？
• RQ3 新しいアルゴリズムは、van Hoeijの元来の実装および他のCASツールと比較して、エッジケースの処理においてどの程度優れた性能を示すか？
• RQ4 既存の実装が内部バグや制限により見逃す解を、新しいアルゴリズムがどの程度回復できるか？
• RQ5 階乗に基づく表現の使用は、記号的べき級数計算における超幾何項解の信頼性および使いやすさを向上させられるか？

主な発見

• 提案されたアルゴリズムは、van Hoeijの元来のアルゴリズムと同等の効率を達成しており、特定のベンチマークでは同等またはわずかに優れた性能を示している。
• Maximaにおける実装は、MapleのLREtools[hypergeomsols]が失敗するケースにおいても正常に解を計算でき、特に代数的数を含む場合に顕著である。
• アルゴリズムは、√7やln(x)を含むような無理数的または代数的係数を持つ再帰的線形方程式に対しても、超幾何項解を正しく計算でき、Mapleの内部コマンドが失敗するケースをカバーしている。
• MapleのLREtools[hypergeomsols]は、再帰の深さの制限エラーおよびRootOf表現の不適切な取り扱いにより、代数的数を含む例で失敗するが、新しいアルゴリズムはこれを回避している。
• 新しいアルゴリズムは、より使いやすい記号的表現（階乗およびポッホハマー記号）で出力を生成するため、べき級数やm重超幾何項構成に直接適用可能である。
• 実装は、複雑なケース（例えば、入れ違いの超幾何列や記号的パラメータを含むもの）を効果的に処理でき、van Hoeij法との理論的同等性が確認された。