[論文レビュー] A Variation of the Box-Counting Algorithm Applied to Colour Images

N. S. Nikolaidis, Ioannis Nikolaidis+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 12, 2011

Image Retrieval and Classification Techniques参考文献 10被引用数 14

ひとこと要約

本稿では、色画像を5次元データセット（x, y, R, G, B）として扱うことで、フラクタル次元を推定するボックスカウント法の高速でスケーラブルな変種、ボックスマージング法を提案する。同手法は同一の空間的・色的パーツをマージすることで計算時間を削減し、O(M)の計算量を達成する。テスト画像および実際の絵画において、2から5までのフラクタル次元を正確に測定でき、合成画像および芸術的画像でも妥当性が検証された。

ABSTRACT

The box counting method for fractal dimension estimation had not been applied to large or colour images thus far due to the processing time required. In this letter we present a fast, easy to implement and very easily expandable to any number of dimensions variation, the box merging method. It is applied here in RGB images which are considered as sets in 5-D space.

研究の動機と目的

• 大規模または色付き画像にボックスカウント法を適用する際の高い計算コストを克服すること。
• 多次元データ（色画像を含む）におけるフラクタル次元推定のための高速でスケーラブルかつ容易に拡張可能な手法を開発すること。
• 既知のフラクタル次元を持つ合成画像と実際の絵画を用いて、手法の正確性と適用可能性を検証すること。
• 微分ボックスカウントのような近似を排除し、フルカラー画像上で正確かつ効率的な計算を可能にすること。

提案手法

• 各ピクセルを5次元空間（x, y, R, G, B）上の点として扱い、画像を5次元データセットにマッピングする。
• 同一の（x, y, R, G, B）組み合わせをマージすることで、重複処理を削減するための固有の組み合わせのパーティションテーブルを構築する。
• 各ボックスサイズ s = 2^ν に対して、パーティションテーブルを一度スキャンするだけで空でないボックス数 n を数え、O(M)の時間計算量を達成する。
• フラクタル次元 D は、log n 対 log s のプロットの傾きとして計算され、高分解能ノイズを除外するためのヒューリスティックなカットオフとして 0.9 log₂(LxLy) を用いる。
• 事前にソート済みかつ重複削除されたパーティションテーブルを用いることで、画像全体を繰り返しスキャンする必要を排除する。
• パーティションテーブルに新たな色チャンネルや特徴量を追加することで、任意の次元数に容易に拡張可能である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 修正されたボックスカウント法は、近似を用いず、フルカラー画像においてフラクタル次元を効率的に推定できるか？
• RQ2 微分ボックスカウントなどの既存手法と比較して、ボックスマージング法は速度および正確性において優れているか？
• RQ3 5次元セットとして扱った場合、色画像で測定可能なフラクタル次元の範囲は何か？
• RQ4 定義された幾何的構造を持つ合成画像において、この手法は既知のフラクタル次元を正確に回復できるか？
• RQ5 アルゴリズムは、現実世界の芸術的画像に対しても意味のあるフラクタル次元値を生成するか？

主な発見

• ボックスマージングアルゴリズムは O(M) の時間計算量を達成し、デュアルコア32ビットシステムで1メガピクセルあたり5秒の処理時間を実現し、標準的なボックスカウント法よりも顕著に高速である。
• 本手法は、5次元空間における1次元の直線（D = 1）、2次元平面（D = 2）、および完全にランダムな色ノイズ（D = 5）に対して正確にフラクタル次元を測定でき、正しさが検証された。
• 実際の絵画では、レオナルド・ダ・ビンチの作品で D = 2.45、カンディンスキーで D = 3.25、モネで D = 3.66、ポロックで D = 4.18 を測定し、複雑さの増加を反映した。
• 0.9 log₂(LxLy) におけるヒューリスティックなカットオフは、高分解能ノイズを効果的に除去しつつ、log n 対 log s の傾きを歪めない。
• メモリ使用量はピクセルあたり7バイト（空間座標2バイト、各色チャンネル1バイト）であり、大規模な画像に対しても実用的である。
• パーティションテーブルに新たな成分を追加することで、任意の次元数に容易に拡張可能である。