[論文レビュー] A variational Approach to complex Hessian equations in $\mathbb{C}^n$

Lu Hoang Chinh|arXiv (Cornell University)|Jan 28, 2013

Geometry and complex manifolds参考文献 23被引用数 14

ひとこと要約

本稿では、複素多様体 $\mathbb{C}^n$ 内の退化型複素 $m$-ヘッセ方程式 $(dd^c\varphi)^m \wedge \beta^{n-m} = \mu$ を、$m$-サブハーモニック関数の有限エネルギークラスを用いて変分的アプローチで解くことを提案する。$\mathcal{E}^1_m(\Omega)$ 内に解が存在かつ一意であるための必要十分条件は、このクラスに属するすべての関数が $\mu$-可積分であることである。また、$\mu$ が有限質量を持ち、$m$-極的集合を充填しない場合、$\mathcal{F}_m(\Omega)$ 内に一意解が存在する。

ABSTRACT

Let $Ω$ be a $m$-hyperconvex domain of $\mathbb{C}^n$ and $β$ be the standard Kähler form in $\mathbb{C}^n$. We introduce finite energy classes of $m$-subharmonic functions of Cegrell type, $\mathcal{E}_m^p, p>0$ and $\mathcal{F}_m$. Using a variational method we show that the degenerate complex Hessian equation $(dd^cφ)^m\wedge β^{n-m}=μ$ has a unique solution in $\mathcal{E}_m^1$ if and only if every function in $\mathcal{E}_m^1$ is integrable with respect to $μ$. If $μ$ has finite total mass and does not charge $m$-polar sets, then the equation has a unique solution in $\mathcal{F}_m$.

研究の動機と目的

• 複素 $\mathbb{C}^n$ 内の退化型複素 $m$-ヘッセ方程式を解くための変分的枠組みを確立すること。
• 有限エネルギークラス $\mathcal{E}^p_m(\Omega)$ および $\mathcal{F}_m(\Omega)$ を定義し、$m$-サブハーモニック関数の性質を研究すること。
• 測度 $\mu$ に関する可積分性および容量条件を用いて、複素ヘッセ方程式 $(dd^c\varphi)^m \wedge \beta^{n-m} = \mu$ の可解性を特徴づけること。
• 複素モンジュ・アンペールの場合の変分法を、より一般の複素ヘッセ設定へと一般化すること。

提案手法

• ヘッセ測度 $H_m(\varphi) = (dd^c\varphi)^m \wedge \beta^{n-m}$ に関する $\varphi$ の可積分性に基づき、有限エネルギークラス $\mathcal{E}^p_m(\Omega)$ および $\mathcal{F}_m(\Omega)$ を定義する。
• $\mathcal{E}^1_m(\Omega)$ 上でエネルギー項と質量項を含む汎関数を最小化する変分法を、[5] のアイデアに従って適用する。
• 比較原理と $m$-容量における収束を用いて、解の一意性と安定性を確立する。
• ホルダーの不等式と容量推定を用いて、測度 $\mu$ の $L^p$ 可積分性と $\mathcal{F}_m^q(\Omega)$ への属する関係を結ぶ。
• $\mathcal{E}^0_m(\Omega)$ 内の滑らかな $m$-サブハーモニック関数による $m$-サブハーモニック関数の近似を構成し、比較原理を拡張する。
• 単調収束定理と容量推定を用いて、$m$-サブハーモニック関数列およびそのヘッセ測度の挙動を制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正のRadon測度 $\mu$ がどのような条件下で、退化型複素ヘッセ方程式 $(dd^c\varphi)^m \wedge \beta^{n-m} = \mu$ が $\mathcal{E}^1_m(\Omega)$ 内に一意解を持つのか。
• RQ2 $\mu$ が有限質量を持つ場合、方程式がクラス $\mathcal{F}_m(\Omega)$ 内に一意解を持つのはいつか。
• RQ3 $\mu$ に関する $m$-サブハーモニック関数の可積分性と、$\mu$ が $m$-極的集合を充填しないことの関係は何か。
• RQ4 $\mu$ が $L^p$ 密度を持つとき、$\varphi \in \mathcal{F}_m^q(\Omega)$ となるような鋭い指数 $q$ は何か。
• RQ5 比較原理はクラス $\mathcal{F}_m^a(\Omega)$ に拡張可能か。また、この拡張において $\mathcal{E}^0_m(\Omega)$ からの近似の役割は何か。

主な発見

• $\mathcal{E}^1_m(\Omega)$ 内に解が存在かつ一意であるための必要十分条件は、このクラスに属するすべての関数が $\mu$-可積分であることである。
• $\mu$ が有限総質量を持ち、$m$-極的集合を充填しない場合、$\mathcal{F}_m(\Omega)$ 内に一意解が存在する。
• $\mu = f dV$ で $f \in L^p(\Omega)$、$p > 1$ かつ $p < n/m$ のとき、解 $\varphi$ はすべての $q < \frac{nm(p-1)}{n - mp}$ に対して $\mathcal{F}_m^q(\Omega)$ に属する。
• 指数 $q = \frac{nm(p-1)}{n - mp}$ は鋭いものであり、例 $\varphi_\alpha = 1 - \|z\|^{-2\alpha}$（$\alpha \in (0, \frac{n-m}{m})$）により示される。このとき $\varphi_\alpha \in \mathcal{F}_m^q(\Omega)$ となるのは $q < \frac{n-m}{\alpha} - m$ のときに限る。
• 比較原理は $\mathcal{F}_m^a(\Omega)$ 内の関数に対しても成り立つ。これは $\mathcal{E}_m^0(\Omega)$ 内の関数による近似と $m$-容量における収束を用いて確立される。
• $\varphi \in \mathcal{E}_m^p(\Omega)$ に対して、容量推定 $\mathrm{Cap}_m(\varphi < -t) \leq C \cdot \mathrm{E}_p(\varphi) \cdot t^{-(m+p)}$ が成り立つ。これはエネルギーと容量の間の定量的関係を示す。